equazione del piano passante per r e parallelo all'asse x

[Rhypireor]

Sia la retta r di equazioni
\(\displaystyle \left\{
\begin{array}{rcrcrcr}
x+2z-4=0\\
y-3z-1=0\\
\end{array}
\right. \)

scrivere un'equaziona del piano passante per r e parallelo all'asse x.


come risoluzione ho provato a scrivere il fascio di piani
\(\displaystyle \lambda(x+2z-4=0) + \mu(y-3z-1=0) \)

trovando:

\(\displaystyle x(\lambda)+y(\mu)+z(2\lambda-3\mu)-4\lambda-\mu =0 \)

e quindi \(\displaystyle v_r=(\lambda,\mu,2\lambda-3\mu) \)

inoltre l'asse x avrà un vettore \(\displaystyle v_x=(t,0,0) \)

tuttavia imponendo il prodotto \(\displaystyle v_r \cdot v_c =0 \)

trovo solo \(\displaystyle \lambda=0 \)

il che mi porta a pensare che io stia sbagliando

volevo chiedervi , il mio procedimento è corretto ?
esiste qualche tool online per risolvere questo genere di esercizi ?

Grazie a tutti in anticipo

[Bokonon]

A parte gli errori di scrittura, il risultato è corretto.
Per $lambda=0$ e $mu=1$ si ottiene il piano $y-3z-1=0$

Lo si vede anche dal sistema. La retta è l'intersezione dei due piani, quindi è contenuta da entrambi.
Tutte le intersezioni YZ del piano cercato sono rette parallele all'asse delle X, ovvero devono trovarsi ad altezza costante dall'asse delle X, ergo non variano con X.
La seconda equazione del sistema chiaramente soddisfa entrambe le condizioni.