Derivato del derivato di un insieme

[Leonardo97]

Buongiorno a tutti.
Mi sono incagliato in una dimostrazione che seppur potenzialmente semplice non riesco proprio a sciogliere.

Vorrei dimostrare che $(S')' \subseteq S'$ dove $S$ è un generico sottoinsieme di uno spazio topologico $(X,\mathcal{T})$.
Con $S'$ intendo ovviamente il derivato di $S$.

Io ragiono cosi:
Fisso $x \in (S')' \Rightarrow \forall U(x) \qquad U(x) \setminus \{x\} \cap S' \ne \emptyset$ dove $U(x)$ è un generico intorno di $x$.
Dunque mi verrebbe a questo punto da prendere $y \in U(x) \setminus \{x\} \cap S' \ne \emptyset$, il che implica che $\forall U(y) \qquad U(y) \setminus \{y\} \cap S \ne \emptyset$ essendo $y \in S'$.
Considero quindi $z \in U(y) \setminus \{y\} \cap S \ne \emptyset$ e SE dimostro che $z \in U(x) \setminus \{x\} \cap S$ allora ho ottenuto che per ogni $U(x)$ risulta $U(x) \setminus \{x\} \cap S \ne \emptyset$ da cui $x \in S'$ e quindi la tesi.

Il punto è che mentre nel caso di uno spazio metrico ho la disuguaglianza triangolare ad aiutarmi nella dimostrazione, in uno spazio topologico ho solo appunto la topologia.

Confido in qualche anima pia che mi aiuti nella dimostrazione o me ne proponga una alternativa? Grazie in anticipo!

[gugo82]

la topologia indiscreta

Quella che si fa costantemente i fatti delle altre topologie?

[Leonardo97]

Ok grazie, vero deve essere T1.
Per T0 non saprei...devo pensarci un po' appena ho tempo.

Grazie della risposta!

[Reyzet]

Guardando la definizione di T0 che non ricordavo su wiki, ho trovato che R con la topologia $\{]a,+\infty[,-\infty \leq a\leq +\infty}$ non è T1 ma è T0 (se y<x non esiste un aperto contenente y e non x)

EDIT: avevo letto male il testo, in ogni caso questo è un esempio di T0 non T1 quindi magari si può lavorare su questo.

[dissonance]

Ma che cos'è il "derivato" di un insieme? L'insieme dei punti di accumulazione? E che sono i punti di accumulazione, in uno spazio topologico e non metrico? Queste cose non sono standard e siccome il busillis sta tutto qua, bisogna ricordare le definizioni.