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Spazi vettoriali dimostrazione

11/10/2019, 13:31

Sia $B={v_1....v_n}$ un sottoinsieme (finito) del $mathbb(K)$-spazio vettoriale $V$, allora $B$ è base se e solo se per ogni $v in V$ ESISTE UNICO $(x_1, …, x_n) in mathbb(K)^n$ tale che $v=x_1v_1 + … +x_n v_n$.

Dimostrare che dati unici $(x_1, ..., x_n) in mathbb(K)^n$ tali che $v=x_1 v_1 + … + x_n v_n$ allora $B$ è base.

Per essere base devo dimostrare

  1. $text(span)(B)=V$

  2. $B$ è formato da vettori linearmente indipendenti

[con $text(span)$ indico l’involucro lineare]

Il punto 1 ho fatto così: se esiste unico $(x_1, …, x_n) in mathbb(K)^n$ tali che $v=x_1 v_1 + … + x_n v_n$ allora $text(span)(B)=V$

Però ora non so come dimostrare il punto 2, perché dalla definizione di indipendenza lineare potrei dire che $B$ è formato da vettori linearmente indipendenti solo se sapessi che $x_1 = … = x_n =0$ ma in tal caso non penso possa esistere essendo unici.


Grazie
Ultima modifica di gugo82 il 11/10/2019, 18:54, modificato 2 volte in totale.
Motivazione: Sistemate le formule. Impara a scriverle da solo: dopo 30 post è obbligatorio inserirle correttamente… E direi che li hai superati da un po’!

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

11/10/2019, 18:54

Qual è la definizione di vettori indipendenti?

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

11/10/2019, 19:03

gugo82 ha scritto:Qual è la definizione di vettori indipendenti?


Quella che ho scritto sopra...cioè che i vettori $v1+...+vn$ si definiscono linearmente indipendenti se
$a1v1+a2v2+....anvn=0$ implica necessariamente che $a1=a2...=an=0$

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

11/10/2019, 22:24

Nessuno riesce a darmi uno spunto per concludere la dimostrazione?

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

11/10/2019, 22:53

arnett ha scritto:Tu sai che ogni vettore $v\inV$ ha un'unica decomposizione $v=x_1v_1+...+x_nv_n$ per scalari $x_1,...,x_n$. Qual è la decomposizione di $0$?


Non ho mai sentito parlare di decomposizione di un vettore...

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

11/10/2019, 22:57

L'ha scritto …
arnett ha scritto:… ha un'unica decomposizione $v=x_1v_1+...+x_nv_n$ per scalari $x_1,...,x_n$ …

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

11/10/2019, 22:58

axpgn ha scritto:L'ha scritto …
arnett ha scritto:… ha un'unica decomposizione $v=x_1v_1+...+x_nv_n$ per scalari $x_1,...,x_n$ …


Il termine DECOMPOSIZIONE non l'ho mai sentito... che poi ce lo abbiamo spiegato con un nome diverso può essere

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

11/10/2019, 23:08

Capisco ma arnett ha scritto cos'è, non fermarti alla primissima difficoltà, cerca di approfondire quello che ti viene detto anche se magari non completo …

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

11/10/2019, 23:29

arnett ha scritto:Una decomposizione è solo una scrittura della forma che ho detto: $v=x_1v?1+...+x_nv_n$.

Sicuramente $0=0v_1+...+0v_n$. Ma questa scrittura è unica, quindi...


Non capisco il perché debba essere unica... ciò significa che l'unica combinazione di $x1+.....xn$ è quella nulla?


Nel senso ho capito che essendo unica di certo allora il vettore $B$ sarà linearmente indipendente e di conseguenza $B$ sarà base

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

12/10/2019, 00:07

@aletzunny
Supponiamo esista (come da ipotesi) una sola combinazione lineare dei vettori che crea ogni singolo vettore di V, allora anche il vettore nullo deve essere ottenuto da un'unica combinazione lineare.
Se esistono più comb. lin. che danno il vettore nullo i vettori non sono lin. indip..
Se lo sono invece, l'unica comb. lineare è quella che hai scritto.
Ergo, se quella è l'unica comb. lin. (da ipotesi), allora sono n vettori indip. e quindi formano una base.
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