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Spazi vettoriali dimostrazione

MessaggioInviato: 11/10/2019, 13:31
da Aletzunny
Sia $B={v_1....v_n}$ un sottoinsieme (finito) del $mathbb(K)$-spazio vettoriale $V$, allora $B$ è base se e solo se per ogni $v in V$ ESISTE UNICO $(x_1, …, x_n) in mathbb(K)^n$ tale che $v=x_1v_1 + … +x_n v_n$.

Dimostrare che dati unici $(x_1, ..., x_n) in mathbb(K)^n$ tali che $v=x_1 v_1 + … + x_n v_n$ allora $B$ è base.

Per essere base devo dimostrare

  1. $text(span)(B)=V$

  2. $B$ è formato da vettori linearmente indipendenti

[con $text(span)$ indico l’involucro lineare]

Il punto 1 ho fatto così: se esiste unico $(x_1, …, x_n) in mathbb(K)^n$ tali che $v=x_1 v_1 + … + x_n v_n$ allora $text(span)(B)=V$

Però ora non so come dimostrare il punto 2, perché dalla definizione di indipendenza lineare potrei dire che $B$ è formato da vettori linearmente indipendenti solo se sapessi che $x_1 = … = x_n =0$ ma in tal caso non penso possa esistere essendo unici.


Grazie

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

MessaggioInviato: 11/10/2019, 18:54
da gugo82
Qual è la definizione di vettori indipendenti?

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

MessaggioInviato: 11/10/2019, 19:03
da Aletzunny
gugo82 ha scritto:Qual è la definizione di vettori indipendenti?


Quella che ho scritto sopra...cioè che i vettori $v1+...+vn$ si definiscono linearmente indipendenti se
$a1v1+a2v2+....anvn=0$ implica necessariamente che $a1=a2...=an=0$

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

MessaggioInviato: 11/10/2019, 22:24
da Aletzunny
Nessuno riesce a darmi uno spunto per concludere la dimostrazione?

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

MessaggioInviato: 11/10/2019, 22:32
da arnett
Tu sai che ogni vettore $v\inV$ ha un'unica decomposizione $v=x_1v_1+...+x_nv_n$ per scalari $x_1,...,x_n$. Qual è la decomposizione di $0$?

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

MessaggioInviato: 11/10/2019, 22:53
da Aletzunny
arnett ha scritto:Tu sai che ogni vettore $v\inV$ ha un'unica decomposizione $v=x_1v_1+...+x_nv_n$ per scalari $x_1,...,x_n$. Qual è la decomposizione di $0$?


Non ho mai sentito parlare di decomposizione di un vettore...

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

MessaggioInviato: 11/10/2019, 22:57
da axpgn
L'ha scritto …
arnett ha scritto:… ha un'unica decomposizione $v=x_1v_1+...+x_nv_n$ per scalari $x_1,...,x_n$ …

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

MessaggioInviato: 11/10/2019, 22:58
da Aletzunny
axpgn ha scritto:L'ha scritto …
arnett ha scritto:… ha un'unica decomposizione $v=x_1v_1+...+x_nv_n$ per scalari $x_1,...,x_n$ …


Il termine DECOMPOSIZIONE non l'ho mai sentito... che poi ce lo abbiamo spiegato con un nome diverso può essere

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

MessaggioInviato: 11/10/2019, 23:08
da axpgn
Capisco ma arnett ha scritto cos'è, non fermarti alla primissima difficoltà, cerca di approfondire quello che ti viene detto anche se magari non completo …

Re: Spazi vettoriali dimostrazione

MessaggioInviato: 11/10/2019, 23:23
da arnett
Una decomposizione è solo una scrittura della forma che ho detto: $v=x_1v_1+...+x_nv_n$.

Sicuramente $0=0v_1+...+0v_n$. Ma questa scrittura è unica, quindi...