falde

[Simone Masini]

come faccio a dimostrare che una superficie algebrica è composta da più falde ,ad esempio 2, una positiva e

l'altra negativa?

[j18eos]

Dipende dalla superficie algebrica a cui ti riferisci;

così in astratto è difficile rispondere...

[Simone Masini]

intendo sapere da quante falde è composta una superficie algebrica scritta in forma cartesiana esplicita
le spiego anche a cosa mi serve:
l'ultimo teorema di Fermat dice che X^n+Y^ndiversoZ^n

se porto tutto a primo membro e associo a questo primo membro una varietà quadridimensionale scrivendo:

K=X^n+Y^n-Z^n ottengo l'equazione di una ipersuperficie. Se riesco a dimostrare

che K è sempre diverso dal secondo membro ossia che è sempre o tutto positivo e/o tutto negativo allora avrei dimostrato la disuguaglianza di Fermat.
quindi dovrebbe essere chiara l'associazione tra il caso di dominio 2D(superficie) con le falde e 3D sempre con le falde! certo nel caso di K=.... le falde non sono visualizzabili ma penso il concetto sia lo stesso delle superfici. Adesso abbiamo l'equazione K=..... che è un caso concreto!!!

[j18eos]

[...] le spiego [...]

Ma lei chi?

Inoltre, l'equazione di Fermat ammette le soluzioni (a valori interi) banali \(\displaystyle(a,0,a)\) e \(\displaystyle(0,b,b)\); quindi chiedere che per ogni \(\displaystyle n\in\mathbb{N}_{\geq3}\) l'equazione (ristretta su \(\displaystyle\mathbb{Z}\)) abbia segno costante è errato!

Esempio: \(\displaystyle n=3\) e si considerino le terne \(\displaystyle(1,1,1),(-1,-1,-1)\); con la prima terna si ha il valore \(\displaystyle 1^3+1^3-1^3=1>0\), e con la seconda terna si ha il valore \(\displaystyle(-1)^3+(-1)^3-(-1)^3=-1<0\); quindi non si ha una falda "a segno costante".

Si noti inoltre, che per \(\displaystyle n\in\{1,2\}\) l'equazione di Fermat ha infinite soluzioni non banali!, mentre per \(\displaystyle n\geq3\) ha solo le soluzioni banali; e nel caso \(\displaystyle n\geq3\) e pari le ho elencate tutte.

Lascio per esercizio al gentile lettore di trovare tutte le soluzioni (banali) per \(\displaystyle n\geq3\) e dispari.