Operazioni Vettoriali

[tatoalo]

Ciao ragazzi, dovrei fare questi due punti di un esercizio. Ho cercato online materiale a riguardo però onestamente non ho trovato nessuno che eseguiva le cose step-by-step e sono un po' confuso...

Sostanzialmente si ha la funzione $f(b)$ di un vettore casuale $b=[[b_1],[b_2]]$ e la matrice $A=[[2,1],[3,2]]$.

$1)$ Nel primo punto chiede di calcolare $(\partial f(b))/(\partial b)$ con $f(b) = Ab$. Qui ho calcolato allora il prodotto $Ab$ e poi ho derivato rispetto a $b_1$ e $b_2$ per ogni elemento e mi sono trovato con $A$. Spero sia giusto.

$2)$ Qui cambia la composizione della funzione in $f(b) = b'Ab$ e chiede di calcolare sempre $(\partial f(b))/(\partial b)$ e qui sono già andato in palla.

$3)$ Chiede quando $f(b) = (b'Cb)^\alpha$ di calcolare $(\partial f(b))/(\partial b)$ con $C$ matrice costante $2x2$ e $\alpha$ anch'essa costante.

Avete qualche consiglio?? Grazie mille!

[gugo82]

2) Come deriveresti $Ax^2$ se $x$ fosse una variabile reale?

3) Teorema di derivazione della funzione composta.

[tatoalo]

Che stupido, hai perfettamente ragione.

Ricapitolando otterrei:

$2)$ $[[4b_1+2b_2],[6b_1+4b_2]]$

e nel
$3)$ $ (\partial f(b))/(\partial b) = (2\alpha(Cb^2)^\alpha)/b$

Grazie mille

[gugo82]

Attenzione… Cosa vuol dire $1/b$ se $b$ è un vettore?

Insomma, le analogie sono buone, ma hanno i loro limiti.

[tatoalo]

Vero...$b^-1$ è $!= 1/b$

[gugo82]

Vero...$b^-1$ è $!= 1/b$

E cos’è $b^(-1)$ se $b$ è un vettore?

[tatoalo]

Non so cosa hai trovato, ma ti segnalo https://atmos.washington.edu/~dennis/MatrixCalculus.pdf, che mi sembra possa rispondere alle tue domande e ai tuoi dubbi.

Grazie mille!

E cos’è $b^(-1)$ se $b$ è un vettore?

Temo di dire una castroneria ma che io sappia non si può invertire un vettore a meno che non sia un $1x1$, caso banale.
Altra cosa che mi è venuta in mente è forse usare la moltiplicazione geometrica, ponendo $b^-1b=1$ e trovare $b^-1=b/(|b|^2)$.