Prego.
Magari puoi fare un copia e incolla per tenerla come scaletta mentale, nel caso di vettori a valori reali/complessi.
Lo sottolineo perchè la definizione di prodotto scalare si estende anche ad altri campi come le funzioni e in quel caso il prodotto scalare è definito da un integrale definito...per questo motivo è un concetto più esteso.
Riguardo la giustificazione: si, puoi chiamare in causa il teorema spettrale, però c'è un teorema più semplice che si può applicare.
Visto che la soluzione omogenea del sistema $(A-lambdaI)x=0$ coincide con $Ax=0$ quando $lambda=0$, allora, dato che la matrice A è quadrata di dimensione n, si avrà $rango(A)=r=dim Im(A)$
Quindi il kernel/radicale avrà, in base al teorema di rango + nullità, sempre dimensione $dim Ker(A)=n-r$.
In altre parole, rispetto all'autovalore 0 troverai
sempre che m.a=n-r=m.g.
Questo vale indipendentemente dal fatto che la matrice sia diagonalizzabile o meno.
Per il resto è solo questione di pratica...anche se devo dire che la visione geometrica di tutto ciò che accade la devo a Strang. Se capisci l'inglese e vuoi seguire un corso più concettuale che formale ti consiglio vivamente questo:
https://www.youtube.com/playlist?list=P ... BF13BECF6CPuoi saltare tutti i video che
NON sono numerati 1,2,3.... etc. perchè sono video di assistenti o specifici.
Quando arriverai a
10. The Four Fundamental Subspaces vedrai quella che lui chiama
The Big PictureIn Italia si concentrano e in modo formale solo su due di questi spazi, immagine e kernel/null space