Grafico di una funzione e varietà.

[elatan]

Sia $U\subseteq\mathbb{R}^n$ aperto, e $F:U\to\mathbb{R}^m$ un'applicazionequalsiasi. Allora il grafico di $\Gamma_F$ di $F$, che è l'insieme $$\Gamma_F=\{(x,F(x))\in\mathbb{R}^{n+m}\;|\;x\in U\}\subseteq\mathbb{R}^{n+m}$$ è una varietà n-dimensionale con un atlante costituito dall'unica carta $\varphi:\Gamma_F\to U$ data da $\varphi(x,F(x))=x$

In generale, sia $M$ un insieme. Un atlante $\mathcal{A}=\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ su $M$ induce su $M$ una topologia dichiarando che $A\subseteq M$ è aperto se e solo se $\varphi_\alpha(A\cap U_\alpha)$ è aperto di $\mathbb{R}^n$.

Quello che sto cercando di dimostrare è che la topologia indotta da questa struttura differenziabile coincide con la topologia di $\Gamma_F$ come sottospazio di $\mathbb{R}^{n+m}$ se e solo se $F$ è continua.



Potreste darmi qualche suggerimento?

Grazie!

[dissonance]

Mi sembra ci sia solo da sviluppare questo groviglio di definizioni e alla fine salta fuori la continuità di \(F\), nella versione "topologica" con le controimmagini degli aperti.