sottospazi vettoriali dimostrazione

[Aletzunny]

$W$ è un sottospazio vettoriale di $R^x$ se:

$1)$ $W$ contiene il vettore nullo $0$ di $R^x$ e $0 in W$.

$2a)$ $AA(w1,w2) in W$, allora $w1+w2 in W$.

$2b)$ $AA(t) in R$, $AA(w) in R$ allora $t*w in W$

l'esercizio chiede di stabilire se $X1$ è un sottospazio vettoriale di $R^3$:

$X1={x=[[x1],[x2],[x3]] in R^3 : x1+(x2)^2-(x3)^2=0}$

ho fatto il punto $1)$ poichè il vettore nullo di $R^3$ è $x=[[0],[0],[0]]$ e sostituendo in $X1$ si ottiene $0=0$. Perciò $X1$ contiene il vettore nullo $0$ di $R^3$ e $0 in X1$.

invece per i punti $2a)$ e $2b)$ mi trovo più in diffcioltà perchè non ho mai incontrato esercizi simili a questo.
Qualcuno potrebbe darmi un mano su come procedere in modo tale da capire come stabilire se $X1$ è sottospazio vettoriale di $R^3$.

Grazie

[feddy]

$v=[1,0,1] \in X_1$, aber $2 v \notin X_1$ poiché $2+0^2-2^2 \ne 0$, quindi non è chiuso rispetto alla moltiplicazione per uno scalare, dunque non è un sottospazio vettoriale

[Aletzunny]

Quindi basta assegnare dei valori particolare?

Credevo andasse dimostrato sempre in "generale" senza assegnare valori particolare a $x$

[feddy]

Diciamo che la presenza di alcuni termini al quadrato fa sospettare che non sia uno spazio vettoriale. Allora uno cerca un (!) caso particolare in cui la definizione di spazio vettoriale fallisce. Ma è ovvio che se lo fosse stato questo metodo non dice nulla e va provato in totale generalità.

Come esercizio, mostra che $\tilde{X}=\{[x_1,x_2,x_3] \in RR^3: x_1-2x_2+x_3=0 \}$ è un sottospazio vettoriale di $RR^3$.

[Bokonon]

E' un poco ridondante il primo punto ed è scritto "male".
1) ${0}inW$

Vediamo come agisce la trasformazione.
Prendiamo due vettori ${T(v), T(w)}inW$
$T(v)=v_1+v_2^2-v_3^2$
$T(w)=w_1+w_2^2-w_3^2$

$T(v)+T(w)=(v_1+w_1)+(v_2^2+w_2^2)-(v_3^2+w_3^2)$
Mentre, $T(v+w)=(v_1+w_1)+(v_2+w_2)^2-(v_3+w_3)^2$
Quindi $T(v)+T(w)!=T(v+w)$ e in base alla 2a non è uno spazio vettoriale

[feddy]

Vuole mostrare che la *somma* di due generici vettori in $X_1$ non è un elemento di $X_1$. Se non vuoi scrivere "trasformazioni", prendi $v$ e $w$, sommali per componenti e vedi se $(v+w)$ sta in $X_1$.

Prova a dimostrare che il mio $\tilde{X}$ che ho definito sopra è sottospazio vettoriale di $RR^3$, l'idea è la stessa e ti aiuta a prendere dimistichezza

[Aletzunny]

Vuole mostrare che la *somma* di due generici vettori in $X_1$ non è un elemento di $X_1$. Se non vuoi scrivere "trasformazioni", prendi $v$ e $w$, sommali per componenti e vedi se $(v+w)$ sta in $X_1$.

Prova a dimostrare che il mio $\tilde{X}$ che ho definito sopra è sottospazio vettoriale di $RR^3$, l'idea è la stessa e ti aiuta a prendere dimistichezza

Appena posso provo a risolverlo

[Aletzunny]

Ho provato il tuo esercizio e ho capito il punto $2a)$...

Ma per il punto $2b)$ come dovrei procedere per dimostrarlo?
Grazie

[feddy]

Prendi due vettori che stanno in $\tilde{X}$. La loro somma fa $0$?

[Aletzunny]

Ma non dovrei prendere un $t in R$ che moltiplica un vettore di $X1$?