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Esercizio su generatori e basi

MessaggioInviato: 17/10/2019, 16:25
da Rhypireor
Si stabilisca per quali valori di k i vettori di \(\displaystyle \Re ^3 \) \(\displaystyle v=(k-1,2,3) , w=(0,-1,0)\) e \(\displaystyle z=(0,0,5) \)

a) sono generatori di \(\displaystyle \Re ^3 \);
b) formano una base di \(\displaystyle \Re ^3 \);
c) sono linearmente dipendenti;

per il punto c) pensavo di calcolare il determinante della matrice contenente i tre vettori e vedere quando il rango è inferiore o uguale a 3.

per il punto a) volevo verificare se è possibile esprimere uno dei vettori come combinazione lineare degli altri.

per il punto b) praticamente farei lo stesso ragionamento del punto c).

Tuttavia questo abbozzo di ragionamento sembra sconnesso e privo di una logica e volevo chiedere se esiste un metodo ad hoc per risolvere questo genere di problemi.

Grazie in anticipo a tutti. :D

Re: Esercizio su generatori e basi

MessaggioInviato: 17/10/2019, 17:45
da Bokonon
Rhypireor ha scritto:volevo chiedere se esiste un metodo ad hoc per risolvere questo genere di problemi.

Sapere le definizioni?
Per il punto a), ad occhio direi che la domanda fosse sono un insieme di generatori $inRR^3$

Cos'è un insieme di generatori?

Re: Esercizio su generatori e basi

MessaggioInviato: 17/10/2019, 19:54
da Sergio
Rhypireor ha scritto:Tuttavia questo abbozzo di ragionamento sembra sconnesso e privo di una logica e volevo chiedere se esiste un metodo ad hoc per risolvere questo genere di problemi.

Perché sconnesso e privo di logica? Non vedo nulla di male nell'idea di usare il determinante.
Avrei un'unica riserva e riguarda il punto a).
Ti si chiede se quei tre vettori possono generare tutto $\mathbb{R}^3$. Perché dici "volevo verificare se è possibile esprimere uno dei vettori come combinazione lineare degli altri"? Questo è in realtà il punto c).
Prova a chiederti se $(k-1,2,3),(0,-1,0),(0,0,5)$ possono generare tutto $\mathbb{R}^3$. Dato che c'è un $k$ di mezzo, devi chiederti a quali condizioni quei tre vettori possono farlo, cioè a quali condizioni una combinazione lineare di quei vettori può - o non può - generare qualsiasi vettore di $\mathbb{R}^3$.

Suggerimento: che succede se $k=1$? che succede se $k\ne 1$?

Noticina a pie' di pagina: nella risposta a queste semplici domande c'è la soluzione di tutto l'esercizio :D

Re: Esercizio su generatori e basi

MessaggioInviato: 17/10/2019, 21:32
da Bokonon
Sergio ha scritto:Ti si chiede se quei tre vettori possono generare tutto $\mathbb{R}^3$.

Io penso di no.
Pensa all'esercizio e al fatto che è stato riportato per quanto capito (un classico).
Se l'esercizio mira a vedere se lo studente abbia compreso i concetti, allora:
a) mira a vedere se ha capito la differenza fra generatori e base
b) a capire se sa derivare una base
c) se sa invertire il ragionamento precedente

Re: Esercizio su generatori e basi

MessaggioInviato: 17/10/2019, 21:55
da Sergio
@ Bokonon. A me sembra che chieda semplicemente di trovare valori "critici" di $k$.
Che poi questo richieda un minimo di padronanza dei concetti... mi pare ovvio :)

Re: Esercizio su generatori e basi

MessaggioInviato: 17/10/2019, 22:02
da Bokonon
@Sergio
Se hai capito allora perchè per te la a) e la b) sono la medesima domanda?
Bokonon ha scritto:Per il punto a), ad occhio direi che la domanda fosse sono un insieme di generatori $inRR^3$

Ripeto, chi non capisce nemmeno la domanda la riporta come l'ha capita.

Re: Esercizio su generatori e basi

MessaggioInviato: 17/10/2019, 22:30
da Sergio
Bokonon ha scritto:Se hai capito allora perchè per te la a) e la b) sono la medesima domanda?

???
Non lo sono affatto. Però - dal momento che i vettori dati sono tre - ammettono la stessa risposta alla domanda "per quali valori di $k$...?"

PS: È proprio per questo che non credo che obiettivo dell'esercizio sia verificare la conoscenza della differenza tra "insieme di generatori" e "base". Fossero stati quattro...

Re: Esercizio su generatori e basi

MessaggioInviato: 18/10/2019, 17:15
da arnett
Mi sono un po' perso. @Bokonon perché ritieni indispensabile parlare di 'insieme' di generatori? Cioè, la a) messa così ti sembra mal formulata?

Inoltre la a) e la b) sono 'quasi' la stessa cosa, se si osserva che la dimensione di $\mathbb{R}^3$ è tre.

Re: Esercizio su generatori e basi

MessaggioInviato: 18/10/2019, 17:48
da Bokonon
arnett ha scritto:Mi sono un po' perso. @Bokonon perché ritieni indispensabile parlare di 'insieme' di generatori? Cioè, la a) messa così ti sembra mal formulata?

Per me è ok ma ho visto che poteva indurre in errore e l'ho parafrasata.
Infatti l'OP ha scritto:
Rhypireor ha scritto:per il punto a) volevo verificare se è possibile esprimere uno dei vettori come combinazione lineare degli altri.


E Sergio successivamente ha scritto:
Sergio ha scritto:Avrei un'unica riserva e riguarda il punto a).
Ti si chiede se quei tre vettori possono generare tutto $\mathbb{R}^3$.


La risposta alla a) è che sono un sistema di generatori per qualsiasi valore k

Re: Esercizio su generatori e basi

MessaggioInviato: 18/10/2019, 18:34
da axpgn
Per $k=1$ non sono un sistema di generatori di $RR^3$ ...