Provare applicazione lineare

[Samy21]

Siano $V$ e $W$ due $KK$-spazi vettoriali con $dim(V)=n$ e $dim(W)=m$. Siano $f_1$,$f_2$,...,$f_m in V*$ e ${w_1,...,w_m}$ una base di $W$.
Mostrare che $T(v)= \sum_(i=1)^m f_i(v)w_i$ è un'applicazione lineare di $V$ in $W$.
In seguito provare che ogni applicazione lineare da $V$ in $W$ può essere scritta nella forma precedente dopo aver scelto un'opportuna base di $W$ e m elementi di $V*$ duale di $V$.

Premesso che, purtroppo, negli esercizi di teoria tendo sempre a perdermi e non poco, per la prima richiesta dell'esercizio devo provare che è soddisfatta la condizione di linearità considerando l'applicazione $T:V -> W$

$T(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2)=\lambda_1 T(v_1) + \lambda_2 T(v_2)$

oppure devo le singole proprietà di additività e omogeneità.
Adottando questo secondo metodo (così faccio un passo alla volta e magari non cado ), considero che
$T(v_1 + v_2)= \sum_(i=1)^m f_i(v_1+v_2)w_i$ mentre invece $T(v_1) + T(v_2)= \sum_(i=1)^m f_i(v_1)w_i +\sum_(i=1)^m f_i(v_2)w_i $.

Non bisogna però dimenticare che gli $f_i$ sono elementi della base duale, cioè se considero che $f_i(v)=v_i^*$, dalla def di base duale abbiamo che $v_i^*(v_j)=1$ se $i=j$, 0 altrimenti. Non so però come questa cosa possa influire nel ragionamento sulla linearità.

Fin quì qualcosa di giusto c'è?

Grazie per ogni vostro aiuto.

[Samy21]

Probabile che mi sfugga qualcosa, ma se non sai nulla di alcuna base di $V$, come fai a dire che "gli $f_i$ sono elementi della base duale"? Base duale a quale base di $V$?

Ho dato per scontato che fossero le componenti della base duale ma in effetti tale dettaglio non è ancora rivelato.

Invece, dalla linearità degli $f_i$ segue che $f_i(v_1+v_2)w_i=f_i(v_1)w_i +f_i(v_2)w_i$, e mi pare che basti.
Che ne dici?

Direi di si

Manco dal forum da qualche anno e quindi -- a parte il fatto che sono un po' arrugginito e potrei aver sbagliato io qualcosa -- non ti so dire perché il K ripetuto non diventa $\mathbb{K}$ (io ho messo \mathbb{K} tra i due dollari). Però ricordo che la regoletta dell'asterisco è semplice: per vedere $**$ devi scrivere due asterischi, cioè **, tra i dollari.

Anche io sono mancata per un lungo periodo e mi ricordavo che funzionava così, provvederò ad aggiornarmi e chiedo scusa per il messaggio iniziale poco chiaro.

Grazie mille Sergio, sempre in gamba.