Re: Proprietà delle basi.

Messaggioda vict85 » 24/10/2019, 12:35

È una considerazione generale. Ma può essere usata per dimostrare sia \((d) \rightarrow (c)\) che \((c)\rightarrow (b)\).
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Re: Proprietà delle basi.

Messaggioda Sergio » 24/10/2019, 14:32

galles90 ha scritto:La definizione di base riportate sul libro è la seguente:
Si dice base o sistema linearmen indipendente di $V(K)$ ogni suo sistema linearmente indipendente di ordine massimo.

La prima implicazione $a) to b) $, risulta essere $b) to a)$ per definizione di base.

A me sembra un modo un po' troppo arzigogolato di ragionare.
Sì, da un punto di vista astrattamente logico si può parlare di implicazioni, perché in logica quello che conta è se una affermazione è vera o falsa.
Concesso questo, però, a mio parere avrebbe molto poco senso dimostrare che a) implica b) o viceversa, visto che si è imposto per definizione che a) vuol dire b).
In altri termini: pensi che sia possibile "dimostrare" che una base, definita come insieme massimale linearmente indipendente, invece non lo è? Ovviamente no, perché siamo nel regno della tautologia.
D'altra parte, in logica \( \displaystyle a \rightarrow b \) è vera anche se $a$ è falsa, il famoso detto ex falso sequitur quodlibet...
Cercherei di andare un po' più sul concreto.

galles90 ha scritto:La terza implicazione $c) to d) $, risulta essere $d) to c)$

Sì, va be', ma in concreto di cosa stiamo parlando?
Procederei in modo diverso.
1) Una base di uno spazio $V$ è un insieme di vettori linearmente indipendente tale che qualsiasi vettore di $V$ può essere espresso come combinazione lineare dei vettori della base (questa mi sembra la "vera" definizione di base -- non a caso è quella che danno Lang, Sernesi, Abate ecc. senza parlare di massimale o minimale).
2) Si può dimostrare che se aggiungi un vettore alla base ottieni un insieme linearmente dipendente (facile: se i vettori della base generano tutti i vettori di $V$, generano anche quello aggiunto). Quindi una base è un insieme linearmente indipendente massimale.
3) Si può anche dimostrare che se invece togli un vettore dalla base non puoi più generare tutto $V$ (facile: personalmente lo farei usando matrici). Quindi una base è un insieme minimale di generatori.
4) A questo punto si può anche dimostrare che un insieme minimale di generatori è linearmente indipendente: se non lo fosse, se ne potrebbe togliere almeno uno e quindi non sarebbe più minimale.

Insomma, una volta data di "base" una definizione sensata come la 1), si possono dimostrare 2) e 3), volendo anche 4.
Tuttavia, dimostrare che 2) o 3) implica 1) mi pare un esercizio poco utile. Ad esempio, dimostrare che un insieme minimale di generatori genera $V$ è inutile, perché qualsiasi insieme di generatori di $V$ genera $V$ per definizione, e un insieme minimale -- cioè linearmente indipendente -- di generatori è una base, ancora una volta, per definizione.
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Re: Proprietà delle basi.

Messaggioda vict85 » 24/10/2019, 15:30

Penso che questo approccio sia usato quando si vogliono minimizzare i riferimenti agli elementi dello spazio. Tutte le proposizioni seguenti sono banali e non scrivo la dimostrazione.

Definizione 1: Un insieme è detto insieme di generatori di uno spazio vettoriale \(V\) se ogni elemento di \(V\) è combinazione lineare di elementi di quell'insieme.

Uso la notazione \(\langle W \rangle\) per indicare l'insieme generato da un insieme \(W\).

Proposizione 1: Sia \(G\) un insieme di generatori, e sia \(G \subset G'\). Allora \(G'\) è un insieme di generatori.

Definizione 2: Un insieme \(W\) si dice linearmente dipendente se \( W = \{\mathbb{0}\}\) oppure se esiste un suo sottoinsieme proprio \(G\varsubsetneq W\) tale che \(W \subseteq \langle G \rangle\). Un insieme è linearmente indipendente se non è linearmente dipendente.

Proposizione 2: Un insieme \(G\) di generatori non minimale è linearmente dipendente.

Proposizione 3: Nessun insieme \(X\) linearmente indipendente non massimale genera \(V\).

Proposizione 4: Ogni insieme minimale di generatori di uno spazio vettoriale non banale è linearmente indipendente (ovvio dalla definizione che ho usato di insieme linearmente indipendente).

La dimostrazione che "Ogni insieme \(W\) linearmente indipendente massimale genera l'intero spazio." è leggermente meno banale. Si deve infatti far vedere che \(\langle W \rangle\) contiene necessariamente ogni \(W'\varsupsetneq W\).
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Re: Proprietà delle basi.

Messaggioda galles90 » 10/11/2019, 10:58

Ragazzi, buongiorno.... vi ringrazio per le risposte.
Vi volevo dire che non ho avuto più il tempo di leggere con attenzione le vostre risposte...Quando si và all'università non si ha mai tempo per approfondire "almeno io".
Fra poco ci sarà l'interruzione degli studi, quindi riprenderò questo argomento, magari con un'altro post.

Vi ringrazio ancora per la disponibilità.


Ciao.
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