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Proprietà delle basi.

23/10/2019, 14:54

Salve,

sto rileggendo le proprietà delle basi, in particolare:

Considerato un sistema di vettori $B$ di un sottoinsieme $X$ di vettori di uno spazio vettoriale $V(K)$, si ha che
$a)$ $B$ sistema linearmente indipendente massimale in $X$
$b)$ $B$ sistema linearmente indipendente di generatori di $X$

sul testo viene proposta la dimostrazione del caso $a) to b)$, mi chiedo se fosse possibile $b) to a) $

Sarei tentato a dire di no, poichè, dovrei aggiungere alle ipotesi che $B$ sia anche una base.
E' corretto ?

Ciao

Re: Proprietà delle basi.

23/10/2019, 14:58

Un "sistema linearmente indipendente di generatori" non è una perifrasi per dire base?

Re: Proprietà delle basi.

23/10/2019, 17:48

Che libro è Galles?
Che definizione da di un sistema di generatori?

24/10/2019, 08:33

@Indrjo Dedej Veramente le basi di uno spazio vettoriale sono definibili in tre maniere equivalenti, che riporto di séguito:
  1. sistema libero1 massimale;
  2. sistema di generatori libero;
  3. sistema di generatori minimale.

@galles90 Sì, si può dimostrare per (esempio con una) riduzione a un assurdo: sai cosa intendo dire?

Note

  1. Modo equivalente per dire "linearmente indipendente".

Re: Proprietà delle basi.

24/10/2019, 10:13

Buongiorno,

@Indrjo Dedej è proprio quello che voglio dimostrare. Mi spiego meglio, riporto l'intera proposizione

Considerato un sistema di vettori $B$ di un sottoinsieme $X$ di vettori di uno spazio vettoriale $V(K)$, sono equivalenti le condizioni:
a) $B$ base di $X$
b) $B$ sistema linearmente indipendente massimale in $X$
c) $B$ sistema linearmente indipente di genetatori di $X$
d) $B$ sistema di generatori minimale di $X$

sul libro (@Bokonon Nicola Melone-Introduzione ai metodi dell'algebra lineare) viene proposta la seguente catena di implicazione
$a) to b) to c) to d) to a)$
ora vorrei provare a vedere se ce ne sono altre.

La definizione di base riportate sul libro è la seguente:
Si dice base o sistema linearmen indipendente di $V(K)$ ogni suo sistema linearmente indipendente di ordine massimo.

La prima implicazione $a) to b) $, risulta essere $b) to a)$ per definizione di base.
La terza implicazione $c) to d) $, risulta essere $d) to c)$, ho provato cosi:

Dimostrazione per assurdo

Se fosse $B$ linearmente dipendente, allora esiste un vettore $mathbf{u_i}$ di $B$, quindi i vettori rimanenti di $B$ possono essere espressi come combinazione lineare del vettore $mathbf{u_i}$, ossia, il vettore $mathbf{u_i}$, dipende linearmente dal sistema $T=B-{mathbf{u_i}}$.
Quindi abbiamo
$T subseteq B to [T] subseteq [B]$

$B subseteq [T] to [B] subseteq [T]$

allora
$[T]=[B]$, cioè $[T]=X$

sono arrivato all'assurdità, essendo che $T$ è contenuto in un sistema di generatori di $X$.

Ora non sono sicuro se l'implicazione può esistere, e tanto meno qualora esistesse sia corretta la dimostrazione.

Re:

24/10/2019, 10:19

j18eos ha scritto:
@galles90 Sì, si può dimostrare per (esempio con una) riduzione a un assurdo: sai cosa intendo dire?


si ci sto provando, ho supposto per assurdo che il sistema $B$ è contenuto in un sistema linearmente indipendente, ossia $B subset B'$, dove $B'=B cup{mathbf{u_(n+1)}}.$

dovrei far vedere $B$ è L.D. ?

Re: Proprietà delle basi.

24/10/2019, 11:28

Se \( \mathcal{G} \) è un sistema di generatori e \(\mathcal{G} \varsubsetneq A\) allora \(A\) è per forza linearmente dipendente. Non è difficile da dimostrare. Prendi \(\mathbf{u}\in A \setminus \mathcal{G}\). Per ipotesi sai che \(\mathbf{u} = \sum_{i=1}^k \alpha_i \mathbf{g}_i\) per qualche \(g_i\in \mathcal{G}\) e \(\alpha_i\in \mathbb{R}\). Pertanto \(A\) contiene il sistema linearmente dipendente \(\{ \mathbf{u}, \mathbf{g}_1,\dotsc, \mathbf{g}_k \}\) ed è linearmente dipendente esso stesso. Dubbi?

Quindi se \(A\subset X\) è un sistema linearmente indipendenti e \( \mathcal{G} \) è un suo sottoinsieme che è anche sistema di generatori di \(X\), allora deve essere per forza \(\mathcal{G} = A\).

Re: Proprietà delle basi.

24/10/2019, 12:08

ciao vict85, quale implicazione stai dimostrando quella che ho fatto, quindi dovrebbe risultare sbagliata, oppure, la $c) to b) $

Re: Proprietà delle basi.

24/10/2019, 12:35

È una considerazione generale. Ma può essere usata per dimostrare sia \((d) \rightarrow (c)\) che \((c)\rightarrow (b)\).

Re: Proprietà delle basi.

24/10/2019, 15:30

Penso che questo approccio sia usato quando si vogliono minimizzare i riferimenti agli elementi dello spazio. Tutte le proposizioni seguenti sono banali e non scrivo la dimostrazione.

Definizione 1: Un insieme è detto insieme di generatori di uno spazio vettoriale \(V\) se ogni elemento di \(V\) è combinazione lineare di elementi di quell'insieme.

Uso la notazione \(\langle W \rangle\) per indicare l'insieme generato da un insieme \(W\).

Proposizione 1: Sia \(G\) un insieme di generatori, e sia \(G \subset G'\). Allora \(G'\) è un insieme di generatori.

Definizione 2: Un insieme \(W\) si dice linearmente dipendente se \( W = \{\mathbb{0}\}\) oppure se esiste un suo sottoinsieme proprio \(G\varsubsetneq W\) tale che \(W \subseteq \langle G \rangle\). Un insieme è linearmente indipendente se non è linearmente dipendente.

Proposizione 2: Un insieme \(G\) di generatori non minimale è linearmente dipendente.

Proposizione 3: Nessun insieme \(X\) linearmente indipendente non massimale genera \(V\).

Proposizione 4: Ogni insieme minimale di generatori di uno spazio vettoriale non banale è linearmente indipendente (ovvio dalla definizione che ho usato di insieme linearmente indipendente).

La dimostrazione che "Ogni insieme \(W\) linearmente indipendente massimale genera l'intero spazio." è leggermente meno banale. Si deve infatti far vedere che \(\langle W \rangle\) contiene necessariamente ogni \(W'\varsupsetneq W\).
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