Esercizio riflessione e proiezione ortogonale

Messaggioda Samy21 » 27/10/2019, 16:48

Sia $U sub \mathbb{R}^3$ il sottospazio lineare avente equazione cartesiane $x+y+z=0$.
Sia $f:\mathbb{R}^3 -> \mathbb{R}^3$ la riflessione rispetto ad $U$ e sia $g$ la proiezione ortogonale su $U$.
Determinare $f(x,y,z)$ e $g(x,y,z)$


Ho provveduto a calcolare la base di $U$ data dai vettori ${(1,0,-1),(0,1,-1)}$ e adesso per calcolare la consegna dell'esercizio considero i vettori $u=(1,0,-1)$, $v=(x,y,z)$ e $u'=u/(||u||)$ e avrò

$g(v)=(v*u')*u'=1/2(x-z,0,-x+z)$
$f(v)= 2(v*u')*u' - v= 1/2(x-2z,-y,-2x+z)$

Volevo sapere se l'esercizio svolto così è corretto.

Grazie a tutti.
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Re: Esercizio riflessione e proiezione ortogonale

Messaggioda Bokonon » 28/10/2019, 14:15

Prendiamo g(v). Hai proiettato un generico vettore su uno specifico vettore del piano. Perchè?
Così proietti tutti i vettori di $RR^3$ su un vettore.
Qual è la matrice di proiezione ortogonale P?
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Re: Esercizio riflessione e proiezione ortogonale

Messaggioda Samy21 » 28/10/2019, 16:00

Bokonon ha scritto:Qual è la matrice di proiezione ortogonale P?

$((\sqrt2/2),(0),(-\sqrt2/2))(\sqrt2/2,0,-\sqrt2/2) + ((-\sqrt2/4),(\sqrt2/2),(-\sqrt2/4))(-\sqrt2/4,\sqrt2/2,-\sqrt2/4)=((5/8,-1/4,-3/8),(-1/4,1/2,-1/4),(-3/8,-1/4,5/8))$
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Re: Esercizio riflessione e proiezione ortogonale

Messaggioda Bokonon » 28/10/2019, 17:18

Intendevo dire la formula $P=A(A^TA)^(-1)A^T$
Non ho ben capito come l'hai derivata ma c'è un errore.
I vettori (1,1,1), (1,0,-1) e infine (1,-2, 1) sono tutti autovettori della matrice che hai scritto e i primi due generano autospazi relativi rispettivamente agli autovalori 0 e 1. Anche il terzo vettore dovrebbe appartenere al medesimo autospazio del secondo...e invece:
$ 1/8( ( 5 , -2 , -3 ),( -2 , 4 , -2 ),( -3 , -2 , 5 ) ) ( ( 1 ),( -2 ),( 1 ) ) =3/4( ( 1 ),( -2 ),( 1 ) ) $
In altre parole, proiettando tutti i vettori che stanno già sul piano lungo la direzione (1,-2,1)...vengono accorciati del 25%. Questo non deve accadere.

La matrice corretta è $ P=1/3( ( 2 , -1 , -1 ),( -1 , 2 , -1 ),( -1 , -1 , 2 ) ) $
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Re: Esercizio riflessione e proiezione ortogonale

Messaggioda Samy21 » 28/10/2019, 21:58

Grazie per la risposta.
Bokonon ha scritto:I vettori (1,1,1), (1,0,-1) e infine (1,-2, 1) sono tutti autovettori della matrice che hai scritto e i primi due generano autospazi relativi rispettivamente agli autovalori 0 e 1.

Come li hai calcolati? Sto sbattendo la testa su questo tipo di esercizio da giorni ma alcune parti rimangono sempre incomprensibili. :? :?

Bokonon ha scritto:Non ho ben capito come l'hai derivata ma c'è un errore.

Ho seguito il sistema spiegato a suo tempo in questo post.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... &p=8272118

Non so se è lo stesso sistema adoperato dal mio prof.
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Re: Esercizio riflessione e proiezione ortogonale

Messaggioda Samy21 » 28/10/2019, 22:34

Credo di aver capito almeno la parte degli autovettori e autovalori associati grazie alla tua risposta a questo topic: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... &p=8422301

Se ho capito bene, nel mio caso $ U={(1,0,-1),(0,1,-1)} $ e adesso devo calcolare la base di $U^(\bot)$ che avrà dimensione 1. Scrivo la matrice dell'autospazio che avrà, appunto, gli autospazi come colonna. Gli autospazi non sono altro che i vettori delle basi che ho già trovato. Poi considero la matrice della riflessione che avrà in diagonale tanti 1 per ogni autospazio di U e tanti -1 per quelli di $U^(\bot)$.
Nel caso della proiezione ortogonale invece il discorso è il medesimo cambia solo che invece di -1 abbiamo 0.

Corretto?
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Re: Esercizio riflessione e proiezione ortogonale

Messaggioda Bokonon » 29/10/2019, 10:57

Corretto ma è meglio correggere la terminologia.

Facciamo un discorso generale dal punto di vista degli autovalori e autovettori.
Esistono due basi di due spazi in somma diretta che, sommate, sono una base per l'intero spazio.
Prendiamo un esempio in $RR^3$
Immagine
$v_1$ e $v_2$ sono una base qualsiasi di un piano $pi$ e insieme a $v_3$ formano una base di $RR^3$
Se vogliamo proiettare tutti i vettori di $RR^3$ su $pi$, notiamo che l'applicazione P deve lasciare inalterati i vettori $v_1$ e $v_2$ e qualsiasi loro combinazione lineare. Quindi essi devono essere due autovettori di P collegati all'autovalore 1, ovvero stanno sul medesimo autospazio. Inoltre, poichè P proietta lungo la direzione $v_3$, tutti i vettori $alphav_3$ finiscono nell'origine, quindi $Pv_3=0*v_3=0$ fa parte del kernel di P, ovvero è l'autovettore associato all'autovalore zero.
Se invece operassimo una riflessione R rispetto al piano $pi$ e lungo $v_3$ allora rovesciamo la componente $v_3$ di tutti i vettori di $RR^3$ espressi in questa base, ovvero $Rv_3=-v_3$ è l'autovettore collegato all'autovalore -1.

Chiamiamo $S=(v_1,v_2,v_3)$ la matrice degli autovettori, allora $P=SD_1S^(-1)$ e $R=SD_2S^(-1)$
dove le due matrici diagonali saranno rispettivamente $ D_1=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ e $ D_2=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $
Nota che il ragionamento vale per qualsiasi dimensione dei due autospazi.
Per la proiezione ci sarà sempre un autospazio legato all'autovalore 1 e uno legato all'autovalore zero.
Per la riflessione ci sarà sempre un autospazio legato all'autovalore 1 e uno legato all'autovalore -1.
Inoltre questo vale lungo qualsiasi direzione/i di proiezione/riflessione.

Nel nostro caso la direzione è ortogonale, quindi possiamo approfittare di questo fatto e trovare una base ortonormale di autovettori e creare la matrice $ S=(v_1,v_2,v_3)=( ( 1/sqrt(6) , 1/sqrt(2) , 1/sqrt(3) ),( -2/sqrt(6) , 0 , 1/sqrt(3)),( 1/sqrt(6) , -1/sqrt(2) , 1/sqrt(3) ) ) $
Perchè? Perchè $S^(-1)=S^T$ quindi ci si risparmia lavoro.
Una matrice simmetrica ha una base ortonormale di autovettori e viceversa quindi, dopo aver fatto i conti (falli!) usando $D_1$ e $D_2$ otterrai P e R e saranno entrambe matrici simmetriche (cosa che non accade per proiezioni/riflessioni non ortogonali ovviamente).

Dopo che avrai fatto questo lavoro, ti mostro il metodo breve :)
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Re: Esercizio riflessione e proiezione ortogonale

Messaggioda Samy21 » 29/10/2019, 12:29

Grazie per la dettagliata spiegazione, eseguendo i conti ottengo queste due matrici:

$P=( ( 2/3 ,-1/3 ,-1/3),( -1/3 , 2/3 , -1/3),( -1/3 , -1/3 , -1/3) ) $ $R=((1/3,-2/3,-2/3),(-2/3,-2/3,-2/3),(-2/3,-2/3,1/3))$

Bokonon ha scritto:Dopo che avrai fatto questo lavoro, ti mostro il metodo breve :)

Non vedo l'ora! :D :D :D
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Re: Esercizio riflessione e proiezione ortogonale

Messaggioda Bokonon » 29/10/2019, 12:56

C'è un errore in una entry di entrambe le matrici. Forse hai copiato male, forse hai sbagliato un conto.
$P=( ( 2/3 ,-1/3 ,-1/3),( -1/3 , 2/3 , -1/3),( -1/3 , -1/3 , 2/3) ) $ $R=((1/3,-2/3,-2/3),(-2/3,1/3,-2/3),(-2/3,-2/3,1/3))$
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Re: Esercizio riflessione e proiezione ortogonale

Messaggioda Samy21 » 29/10/2019, 13:12

Si ho sbagliato un conto.
Noto che sono matrici simmetriche che hanno lo stesso elemento nella diagonale principale.
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