Corretto ma è meglio correggere la terminologia.
Facciamo un discorso generale dal punto di vista degli autovalori e autovettori.
Esistono due basi di due spazi in somma diretta che, sommate, sono una base per l'intero spazio.
Prendiamo un esempio in $RR^3$
$v_1$ e $v_2$ sono una base qualsiasi di un piano $pi$ e insieme a $v_3$ formano una base di $RR^3$
Se vogliamo proiettare tutti i vettori di $RR^3$ su $pi$, notiamo che l'applicazione P deve lasciare inalterati i vettori $v_1$ e $v_2$ e qualsiasi loro combinazione lineare. Quindi essi devono essere due autovettori di P collegati all'autovalore 1, ovvero stanno sul medesimo autospazio. Inoltre, poichè P proietta lungo la direzione $v_3$, tutti i vettori $alphav_3$ finiscono nell'origine, quindi $Pv_3=0*v_3=0$ fa parte del kernel di P, ovvero è l'autovettore associato all'autovalore zero.
Se invece operassimo una riflessione R rispetto al piano $pi$ e lungo $v_3$ allora rovesciamo la componente $v_3$ di tutti i vettori di $RR^3$ espressi in questa base, ovvero $Rv_3=-v_3$ è l'autovettore collegato all'autovalore -1.
Chiamiamo $S=(v_1,v_2,v_3)$ la matrice degli autovettori, allora $P=SD_1S^(-1)$ e $R=SD_2S^(-1)$
dove le due matrici diagonali saranno rispettivamente $ D_1=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ e $ D_2=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $
Nota che il ragionamento vale per qualsiasi dimensione dei due autospazi.
Per la proiezione ci sarà sempre un autospazio legato all'autovalore 1 e uno legato all'autovalore zero.
Per la riflessione ci sarà sempre un autospazio legato all'autovalore 1 e uno legato all'autovalore -1.
Inoltre questo vale lungo qualsiasi direzione/i di proiezione/riflessione.
Nel nostro caso la direzione è ortogonale, quindi possiamo approfittare di questo fatto e trovare una base ortonormale di autovettori e creare la matrice $ S=(v_1,v_2,v_3)=( ( 1/sqrt(6) , 1/sqrt(2) , 1/sqrt(3) ),( -2/sqrt(6) , 0 , 1/sqrt(3)),( 1/sqrt(6) , -1/sqrt(2) , 1/sqrt(3) ) ) $
Perchè? Perchè $S^(-1)=S^T$ quindi ci si risparmia lavoro.
Una matrice simmetrica ha una base ortonormale di autovettori e viceversa quindi, dopo aver fatto i conti (falli!) usando $D_1$ e $D_2$ otterrai P e R e saranno entrambe matrici simmetriche (cosa che non accade per proiezioni/riflessioni non ortogonali ovviamente).
Dopo che avrai fatto questo lavoro, ti mostro il metodo breve