Esercizio riflessione e proiezione ortogonale

Sia $U sub \mathbb{R}^3$ il sottospazio lineare avente equazione cartesiane $x+y+z=0$.
Sia $f:\mathbb{R}^3 -> \mathbb{R}^3$ la riflessione rispetto ad $U$ e sia $g$ la proiezione ortogonale su $U$.
Determinare $f(x,y,z)$ e $g(x,y,z)$

Ho provveduto a calcolare la base di $U$ data dai vettori ${(1,0,-1),(0,1,-1)}$ e adesso per calcolare la consegna dell'esercizio considero i vettori $u=(1,0,-1)$, $v=(x,y,z)$ e $u'=u/(||u||)$ e avrò

$g(v)=(v*u')*u'=1/2(x-z,0,-x+z)$
$f(v)= 2(v*u')*u' - v= 1/2(x-2z,-y,-2x+z)$

Volevo sapere se l'esercizio svolto così è corretto.

Grazie a tutti.

Prendiamo g(v). Hai proiettato un generico vettore su uno specifico vettore del piano. Perchè?
Così proietti tutti i vettori di $RR^3$ su un vettore.
Qual è la matrice di proiezione ortogonale P?

Qual è la matrice di proiezione ortogonale P?

$((\sqrt2/2),(0),(-\sqrt2/2))(\sqrt2/2,0,-\sqrt2/2) + ((-\sqrt2/4),(\sqrt2/2),(-\sqrt2/4))(-\sqrt2/4,\sqrt2/2,-\sqrt2/4)=((5/8,-1/4,-3/8),(-1/4,1/2,-1/4),(-3/8,-1/4,5/8))$

Intendevo dire la formula $P=A(A^TA)^(-1)A^T$
Non ho ben capito come l'hai derivata ma c'è un errore.
I vettori (1,1,1), (1,0,-1) e infine (1,-2, 1) sono tutti autovettori della matrice che hai scritto e i primi due generano autospazi relativi rispettivamente agli autovalori 0 e 1. Anche il terzo vettore dovrebbe appartenere al medesimo autospazio del secondo...e invece:
$ 1/8( ( 5 , -2 , -3 ),( -2 , 4 , -2 ),( -3 , -2 , 5 ) ) ( ( 1 ),( -2 ),( 1 ) ) =3/4( ( 1 ),( -2 ),( 1 ) ) $
In altre parole, proiettando tutti i vettori che stanno già sul piano lungo la direzione (1,-2,1)...vengono accorciati del 25%. Questo non deve accadere.

La matrice corretta è $ P=1/3( ( 2 , -1 , -1 ),( -1 , 2 , -1 ),( -1 , -1 , 2 ) ) $

Grazie per la risposta.

I vettori (1,1,1), (1,0,-1) e infine (1,-2, 1) sono tutti autovettori della matrice che hai scritto e i primi due generano autospazi relativi rispettivamente agli autovalori 0 e 1.

Come li hai calcolati? Sto sbattendo la testa su questo tipo di esercizio da giorni ma alcune parti rimangono sempre incomprensibili.

Non ho ben capito come l'hai derivata ma c'è un errore.

Ho seguito il sistema spiegato a suo tempo in questo post.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... &p=8272118

Non so se è lo stesso sistema adoperato dal mio prof.

Credo di aver capito almeno la parte degli autovettori e autovalori associati grazie alla tua risposta a questo topic: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... &p=8422301

Se ho capito bene, nel mio caso $ U={(1,0,-1),(0,1,-1)} $ e adesso devo calcolare la base di $U^(\bot)$ che avrà dimensione 1. Scrivo la matrice dell'autospazio che avrà, appunto, gli autospazi come colonna. Gli autospazi non sono altro che i vettori delle basi che ho già trovato. Poi considero la matrice della riflessione che avrà in diagonale tanti 1 per ogni autospazio di U e tanti -1 per quelli di $U^(\bot)$.
Nel caso della proiezione ortogonale invece il discorso è il medesimo cambia solo che invece di -1 abbiamo 0.

Corretto?

Corretto ma è meglio correggere la terminologia.

Facciamo un discorso generale dal punto di vista degli autovalori e autovettori.
Esistono due basi di due spazi in somma diretta che, sommate, sono una base per l'intero spazio.
Prendiamo un esempio in $RR^3$

$v_1$ e $v_2$ sono una base qualsiasi di un piano $pi$ e insieme a $v_3$ formano una base di $RR^3$
Se vogliamo proiettare tutti i vettori di $RR^3$ su $pi$, notiamo che l'applicazione P deve lasciare inalterati i vettori $v_1$ e $v_2$ e qualsiasi loro combinazione lineare. Quindi essi devono essere due autovettori di P collegati all'autovalore 1, ovvero stanno sul medesimo autospazio. Inoltre, poichè P proietta lungo la direzione $v_3$, tutti i vettori $alphav_3$ finiscono nell'origine, quindi $Pv_3=0*v_3=0$ fa parte del kernel di P, ovvero è l'autovettore associato all'autovalore zero.
Se invece operassimo una riflessione R rispetto al piano $pi$ e lungo $v_3$ allora rovesciamo la componente $v_3$ di tutti i vettori di $RR^3$ espressi in questa base, ovvero $Rv_3=-v_3$ è l'autovettore collegato all'autovalore -1.

Chiamiamo $S=(v_1,v_2,v_3)$ la matrice degli autovettori, allora $P=SD_1S^(-1)$ e $R=SD_2S^(-1)$
dove le due matrici diagonali saranno rispettivamente $ D_1=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ e $ D_2=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $
Nota che il ragionamento vale per qualsiasi dimensione dei due autospazi.
Per la proiezione ci sarà sempre un autospazio legato all'autovalore 1 e uno legato all'autovalore zero.
Per la riflessione ci sarà sempre un autospazio legato all'autovalore 1 e uno legato all'autovalore -1.
Inoltre questo vale lungo qualsiasi direzione/i di proiezione/riflessione.

Nel nostro caso la direzione è ortogonale, quindi possiamo approfittare di questo fatto e trovare una base ortonormale di autovettori e creare la matrice $ S=(v_1,v_2,v_3)=( ( 1/sqrt(6) , 1/sqrt(2) , 1/sqrt(3) ),( -2/sqrt(6) , 0 , 1/sqrt(3)),( 1/sqrt(6) , -1/sqrt(2) , 1/sqrt(3) ) ) $
Perchè? Perchè $S^(-1)=S^T$ quindi ci si risparmia lavoro.
Una matrice simmetrica ha una base ortonormale di autovettori e viceversa quindi, dopo aver fatto i conti (falli!) usando $D_1$ e $D_2$ otterrai P e R e saranno entrambe matrici simmetriche (cosa che non accade per proiezioni/riflessioni non ortogonali ovviamente).

Dopo che avrai fatto questo lavoro, ti mostro il metodo breve

Grazie per la dettagliata spiegazione, eseguendo i conti ottengo queste due matrici:

$P=( ( 2/3 ,-1/3 ,-1/3),( -1/3 , 2/3 , -1/3),( -1/3 , -1/3 , -1/3) ) $ $R=((1/3,-2/3,-2/3),(-2/3,-2/3,-2/3),(-2/3,-2/3,1/3))$

Dopo che avrai fatto questo lavoro, ti mostro il metodo breve

Non vedo l'ora!

C'è un errore in una entry di entrambe le matrici. Forse hai copiato male, forse hai sbagliato un conto.
$P=( ( 2/3 ,-1/3 ,-1/3),( -1/3 , 2/3 , -1/3),( -1/3 , -1/3 , 2/3) ) $ $R=((1/3,-2/3,-2/3),(-2/3,1/3,-2/3),(-2/3,-2/3,1/3))$

Si ho sbagliato un conto.
Noto che sono matrici simmetriche che hanno lo stesso elemento nella diagonale principale.