Esercizio riflessione e proiezione ortogonale

[Bokonon]

Ragionando per autovalori e autovettori si ha un metodo universale per determinare le matrici di proiezione lungo una data/e direzione/i.
Nel caso specifico di una proiezione ortogonale valgono le seguenti relazioni: e intendo dire che tutte le formule che scriverò da adesso in poi valgono solo in questo caso speciale.

La matrice di proiezione ortogonale è $P=A(A^TA)^(-1)A^T$ e puoi intuire da dove arrivi pensando a Gram–Schmidt.
A è la matrice le cui colonne sono una base qualsiasi dello spazio su cui proiettare ortogonalmente i vettori.
Nel nostro caso è, per esempio, $ A=( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ),( -1 , -1 ) ) $
Quindi $(A^TA)=B$ verrà fuori una matrice 2x2 di cui fare l'inversa e poi calcolerai $AB^(-1)A^T$
Lo lascio a te come esercizio.

Il metodo veloce invece sfrutta un'altra proprietà. Chiamiamo $P^(_|_)$ la matrice di proiezione sullo spazio perpendicolare al nostro piano $pi$. Ebbene le due matrici di proiezione stanno nella relazione:
$P=I-P^(_|_)$
La differenza è che usando la formula $P^(_|_)=A(A^TA)^(-1)A^T$ stavolta $ A=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $ infatti lo spazio perpendicolare è una retta.
Quindi $(A^TA)=B=3$ è semplicemente uno scalare (la norma al quadrato del vettore) e l'inversa di uno scalare è il suo reciproco, ovvero 1/3.
Quindi facendo i passaggi abbiamo:
$P^(_|_)=A(A^TA)^(-1)A^T=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) *1/3* ( 1 \ \ 1 \ \ 1 )=1/3*( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) ( 1 \ \ 1 \ \ 1 )=1/3( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) )$
Insomma, si fanno anche a mente...

Quindi $P=I-1/3( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) )=1/3( ( 2 , -1 , -1 ),( -1 , 2 , -1 ),( -1 , -1 , 2 ) )$
Il trucco quindi, per risparmiarsi lavoro ed errori, e di proiettare sempre sullo spazio con dimensione più piccola!

Infine, come già sai, la relazione fra la matrice R di riflessione (sempre perpendicolare) e P è $R=2P-I$
Una volta comprese le relazioni geometriche, l'intero esercizio si risolve in meno di 3 minuti (e andando con calma)

[Samy21]

Lo lascio a te come esercizio.

Facendo i conti ottengo $( ( 2/3 ,-1/3 ,-1/3),( -1/3 , 2/3 , -1/3),( -1/3 , -1/3 , 2/3) ) $ ossia la matrice $P$ della proiezione dei post precedenti.

Il trucco quindi, per risparmiarsi lavoro ed errori, e di proiettare sempre sullo spazio con dimensione più piccola!

Wow, così sembra davvero semplicissimo!
Questo secondo sistema non mi conviene adoperarlo nel caso in cui il complemento ortogonale ha dimensioni maggiori di U perchè mi complicherei la vita.

Avendo le matrici P ed R della proiezione e della riflessione così dovrebbe venirmi molto semplice procedere al calcolo delle $f(x,y,z)$ e $g(x,y,z)$ dove f rappresenta la riflessione $f:\mathbb(R)^4 -> \mathbb(R)^4$ mentre invece g è la proiezione ortogonale.
Sarebbe in questo caso $f(x,y,z)=R((x),(y),(z))$ e $g(x,y,z)=P((x),(y),(z))$

Ho visto però che il mio prof adotta un altro sistema per calcolarli.
Chiamando $u$ il vettore della base $U$ di partenza e $u'=u/||u||$ e $v=(x,y,z)$ lui calcola $g(v)=(v*u')*u'$.
Invece per la riflessione credo sia $f(v)=2(v*u')u' - v$. Può essere?

Grazie per la pazienza.

[Bokonon]

Prima di tutto un errata corrige.
Dopo aver postato mi sono reso conto di aver scritto una boiata.
Questa formula $P=A(A^TA)^(-1)A^T$ vale unicamente per una proiezione ortogonale.
Ma le relazioni $P=I-P^(_|_)$ e $R=2P-I$ sono puramente geometriche e non dipendono dal tipo di base: quindi valgono sempre, anche quando P è una proiezione non ortogonale.

Detto questo, francamente non capisco perchè in Italia complichino la vita e raramente usino il linguaggio matriciale. Quello è il procedimento https://it.wikipedia.org/wiki/Ortogonal ... am-Schmidt
e andrebbe applicato due volte (prima su un vettore della base e poi il risultato sul secondo vettore) per proiettare un vettore generico su un piano.
Per farti vedere che è la stessa cosa, proietto sul vettore ortogonale normalizzato $u'=<1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3)>$ così lavoro meno:
$ (v^Tu')*u'=1/3( ( x_1+x_2+x_3 ),( x_1+x_2+x_3 ),( x_1+x_2+x_3 ) ) =1/3( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) )( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) )=P^(_|_)x $
Se proietti su uno spazio di dimensione 1 è facile...mentre su uno spazio di dimensione 2 devi lavorare di più.
Scegli tu quale metodo ti conviene...tanto alla fine puoi calcolare usando le matrici e poi scrivere sul foglio solo il procedimento generico e il risultato.

[Samy21]

Scegli tu quale metodo ti conviene...tanto alla fine puoi calcolare usando le matrici e poi scrivere sul foglio solo il procedimento generico e il risultato.

Infatti, posso verificare con questo metodo se ciò che ottengo con il metodo del prof è giusto. Purtroppo è un pò particolare e se non si utilizzano gli strumenti a lui più graditi valuta l'esercizio sbagliato.

Grazie mille per la pazienza e la chiarezza!

[Samy21]

Salve a tutti,

eccomi quì di nuovo con un nuovo esercizio che ho svolto. Ve lo propongo per capire se è giusto.
Grazie in anticipo per la vostra pazienza.

Consideriamo $\mathbb(R)^4$ con il prodotto euclideo standard e sia $U sub \mathbb(R)^4$ il sottospazio vettoriale di equazioni cartesiane $x + y = 0 = z + t$ . Sia $f : \mathbb(R)^4 -> \mathbb(R)^4$ la riflessione rispetto al sottospazio lineare $U$ e sia $g : \mathbb(R)^4 -> \mathbb(R)^4$ la proiezione ortogonale su $U$.
(a) Determinare il complemento ortogonale $U^(\bot)$ di $U$. Trovare una base ortonormale di $U$ e una base ortonormale di $U^(\bot)$.
(b) Calcolare ker(f), Im(f), ker(g), Im(g).
(c) Determinare gli autospazi di f e quelli di g.
(d) Determinare $f(x, y, z, t)$ e $g(x, y, z, t)$.

a) $U{(-1,1,0,0),(0,0,1,-1)}$ e $U^(\bot)={(1,1,0,0),(0,0,1,1)}$.
Noto già che i vettori in ogni base sono tra loro ortogonali quindi non ho motivo di applicare GS.
Dividendo per le norme ottengo che
la base ortonormale di U è ${(-1/sqrt2,1/sqrt2,0,0),(0,0,1/sqrt2,-1/sqrt2)}$
mentre quella di $U^(\bot)$ è ${(1/sqrt2,1/sqrt2,0,0),(0,0,1/sqrt2,1/sqrt2)}$.

b) $ker(f)=0$ e $Im(f)=\mathbb(R)^4$.
$ker(g)=U^(\bot)$ e $Im(g)=U$

c)Seguendo la notazione astrusa del prof, per $f$ gli autospazi sono $U=(\mathbb(R)^4)_1$ e $U^(\bot)=(\mathbb(R)^4)_(-1)$
Per $g$ abbiamo $U^(\bot)=ker(g)=(\mathbb(R)^4)_0$ e $U=(\mathbb(R)^4)_1$

d) Indicando con $u'=(-1/sqrt2,1/sqrt2,0,0)$ e $v=(x,y,z,t)$ abbiamo
$f(v)=2(v*u')*u' -v = 1/2(x-2y,-2x+y,-z,-t)$
$g(v)=(v*u')*u'=1/2(x-y,-x+y,0,0)$

[Bokonon]

Il punto d) è sbagliato
$g(x,y,z,t)=1/2(x-y,-x+y,z-t,-z+t)$
$f(x,y,z,t)=(-y,-x,-t,-z)$

[Samy21]

Calcolandole con le matrici mi corrisponde con il tuo risultato, applicando il metodo del prof no.

[Bokonon]

Continui a fare lo stesso errore iniziale.
Ragioniamo sulla logica della proiezione su un sottospazio $UsubRR^n$ di dimensione k
a) cerchiamo una base di versori di $U={u_1,u_2,...u_k}$, ovvero una base di vettori ortogonali con norma 1
b) prendiamo un vettore generico $v=<v_1, v_2,...,v_n>$
c) la proiezione di $v$ su un generico vettore $u_i$ è data da $P_(u_i)(v)=[(v^Tu_i)/(u_i^Tu_i)]*u_i=(v^Tu_i)*u_i=a_i*u_i$
perchè $u_i^Tu_i=1$ (per scelta) e poniamo per comodità $v^Tu_i=a_i$ dove $a_iinRR$
d) proiettando $v$ su ogni $u_i$ otteniamo tutte le proiezioni lungo gli assi che compongono la base di U (che puoi tranquillamente immaginare come fosse una base canonica).
e) sommando le componenti trovate, otterremo la combinazione lineare generica $sum_(i=1)^n a_i*u_i=v'$ ovvero la proiezione di $v$ sullo spazio U, ovvero la generica proeizione di un vettore di $RR^n$ su $U$

Tu invece fai una proiezione e basta, quando invece (prendendo l'esercizio che stai facendo) devi fare la somma di due proiezioni. La base di versori l'hai già trovata, ora devi calcolare $g(v)=P_(u_1)(v)+P_(u_2)(v)$ e poi $f(v)=2g(v)-v$

[Samy21]

Tu invece fai una proiezione e basta, quando invece (prendendo l'esercizio che stai facendo) devi fare la somma di due proiezioni. La base di versori l'hai già trovata, ora devi calcolare $g(v)=P_(u_1)(v)+P_(u_2)(v)$ e poi $f(v)=2g(v)-v$

Penso di aver capito. In questo esercizio devo sommare due contributi perchè la mia base $U$ è composta da due elementi. Se fossero stati 3 la proiezione ortogonale sarebbe stata composta da 3 fattori e così via.

Adesso rivedo tutti gli esercizi, spero di aver capito davvero stavolta!

Grazie mille davvero!

[Samy21]

Esempio: $U={(1,1,0,0),(0,0,1,1)}$ allora ottengo $g(v)=1/2(x+y,x+y,z+t,z+t)$ e $f(v)=(y,x,t,z)$ oppure, come solitamente le scrive il prof, $f(v)=1/2(x+2y,2x+y,z+2t,2z+t)$

Sono corrette?