Buonasera, una dimostrazione potrebbe essere questa:
Userò la seguente notazione: dati 2 punti $X$ e $Y$ indico la retta passante per questi con $XY$.
(continuando con la notazione da te utilizzata)
Chiamiamo $K$ l'intersezione tra $BC$ e la retta ideale.
Considerando ora le rette $KA, KB, KM, KI$ si ha per dualità che: $H(A,B;C,I) \Leftrightarrow H(KA, KB; KM, KI)$.
Usando lo stesso giochino si ha che $H(KA, KB; KM, KI) \Leftrightarrow H(A,C;X,J)$ dove $X$ è l'intersezione di $KM$ con $AC$.
Ora per far vedere che $X$ coincide con $N$ sfrutti un teorema che, dati 3 punti collineari, ti garantisce l'esistenza ed unicità del quarto punto (quindi basta supporre che siano distinti per arrivare subito ad un assurdo).
Abbiamo quindi fatto vedere che la retta passante per $M$ e $N$ interseca la retta ideale in $K$, che ricordo essere l'intersezione tra $BC$ e la retta ideale. Essendo $MN$ e $BC$ rette distinte (per costruzione) si ha che hanno un solo punto di intersezione e per quanto visto sopra, questo è proprio $K$ che appartiene alla retta ideale.
Abbiamo quindi finito perché due rette distinte si dicono parallele se il punto di intersezione giace sulla retta ideale.
Fammi sapere se qualcosa non ti è chiaro se ci sono errori.