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Buongiorno,
devo dimostrare la seguente proposizione:

La retta che unisce i due punti medi di due lati di un triangolo è parallela al terzo lato.

Il problema è che devo dimostrarla in geometria affine, quindi senza l'utilizzo degli assiomi di congruenza.
Considerando i vertici $A,B,C$ di un triangolo generico, ho $M$ punto medio del segmento $AB$ e $N$ punto medio del segmento $AC$. Per definizione di punto medio in geometria affine ho che $M$ è tale che $H(A,B,M,I)$, con $I$ punto ideale della retta passante per $A$ e $B$, e $N$ è tale che $H(A,C,N,J)$, con $J$ punto ideale della retta passante per $A$ e $C$. Devo dimostrare quindi che la retta passante per $M$ e $N$ è parallela alla retta passante per i punti $A$ e $C$: ho pensato di farlo per assurdo, ma non so come procedere.
Qualcuno può aiutarmi?

Quando dici geometria affine fai riferimento a quella che si basa sull'algebra lineare, corretto?

Hai che \((B'-A) = \frac12 (B - A)\) e che \((C'-A) = \frac12 (C - A)\). E vuoi mostrare che il vettore \(B'-C'\) è parallelo a \(B-C\). Ma hai che \[\begin{align*} B'- C' &= B'-A-C'+A \\ &= \frac12 (B-A) - \frac12 (C-A) \\ &= \frac12( B-A - C + A ) \\ &= \frac12 (B-C)\end{align*}\].

Buonasera, una dimostrazione potrebbe essere questa:

Userò la seguente notazione: dati 2 punti $X$ e $Y$ indico la retta passante per questi con $XY$.

(continuando con la notazione da te utilizzata)
Chiamiamo $K$ l'intersezione tra $BC$ e la retta ideale.
Considerando ora le rette $KA, KB, KM, KI$ si ha per dualità che: $H(A,B;C,I) \Leftrightarrow H(KA, KB; KM, KI)$.
Usando lo stesso giochino si ha che $H(KA, KB; KM, KI) \Leftrightarrow H(A,C;X,J)$ dove $X$ è l'intersezione di $KM$ con $AC$.

Ora per far vedere che $X$ coincide con $N$ sfrutti un teorema che, dati 3 punti collineari, ti garantisce l'esistenza ed unicità del quarto punto (quindi basta supporre che siano distinti per arrivare subito ad un assurdo).

Abbiamo quindi fatto vedere che la retta passante per $M$ e $N$ interseca la retta ideale in $K$, che ricordo essere l'intersezione tra $BC$ e la retta ideale. Essendo $MN$ e $BC$ rette distinte (per costruzione) si ha che hanno un solo punto di intersezione e per quanto visto sopra, questo è proprio $K$ che appartiene alla retta ideale.
Abbiamo quindi finito perché due rette distinte si dicono parallele se il punto di intersezione giace sulla retta ideale.

Fammi sapere se qualcosa non ti è chiaro se ci sono errori.