Problema Geometria nello Spazio.

Messaggioda iProveZ » 04/11/2019, 15:52

Buongiorno a tutti, da un po' sto provando a risolvere questa tipologia di esercizio, però non saprei da che parte cominciare per svolgerlo... il testo recita:

- Tra le rette perpendicolari e incidenti la retta $r$ : $\{(x - y = 0),(z = 3y + 2):}$ , nel suo punto $P = (0,0,2)$ , determinare

1) quella incidente alla retta $s$ : $ x = y = z $

2) quella ortogonale alla retta $s$ : $ x = y = z $

3) quelle che hanno distanza $1$ da $s$ .

Se ci fosse qualcuno in grado di darmi due dritte gliene sarei molto grato :)
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Re: Problema Geometria nello Spazio.

Messaggioda gugo82 » 04/11/2019, 16:56

Dove giacciono le rette ortogonali ad $r$ e passanti per $P$?
Comincia da qui.
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Re: Problema Geometria nello Spazio.

Messaggioda iProveZ » 04/11/2019, 17:24

Sì, giusto grazie! Ho calcolato infatti il piano perpendicolare alla retta $r$ che ho riscritto in forma parametrica
$r$ : $\{(x = t), (y = t), (z = 2 + 3t):}$ , e conoscendo quindi il vettore direzionale della retta, imponendo il passaggio per $P$ ho trovato l'equazione del piano $\alpha$ : $ x + y + 3z - 6 = 0 $, da cui sono riuscito a ricavarmi l'intersezione con la retta $s$ messa a sistema con il piano, il punto di incidenza piano retta, ossia facendo: $\{(x + y + 3z - 6 = 0),(x - y = 0),(x - z = 0):}$ e ho trovato il punto di intersezione $Q = (6/5, 6/5, 6/5)$ però come procedo a trovare la retta che mi chiede? Mentre quando mi chiede retta ortogonale a $s$ e a distanza $1$ quali condizioni dovrei imporre? Grazie mille ancora :D
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Re: Problema Geometria nello Spazio.

Messaggioda gugo82 » 05/11/2019, 00:49

Il metodo che hai usato funziona per fare alcune cose (per pura fortuna), ma è abbastanza inutile per altre.

Prova invece così: come detto le rette $p$ che ti interessano giacciono sul piano per $P$ ortogonale ad $r$, che ha vettore normale uguale al vettore direzionale di $r$, ossia $mathbf(r)=(1,1,3)$; conseguentemente, i vettori direzionali $mathbf(p)=(l,m,n)$ delle rette ortogonali ad $r$ sono tali che $mathbf(r) * mathbf(p) = l+m+3n=0$, da cui $l=-m-3n$; dunque le equazioni parametriche di $p$ sono del tipo $\{(x = -(m+3n) t ), (y=m t), (z = 2+n t) :}$.

Avendo le equazioni di $p$ puoi farci ciò che vuoi…

Ad esempio, volendo determinare la retta $p$ incidente $s:\{(x=y), (y=z):}$ (quesito 1) basta imporre che il sistema $\{(-(m + 3n) t = m t), (m t = 2 + n t):} <=> \{((2m + 3n)t = 0), ((m - n) t = 2) :}$ nella sola incognita $t$ abbia un’unica soluzione: ciò si fa richiedendo che la matrice completa $((2m + 3n , 0), (m - n, 2))$ e la matrice dei coefficienti $((2m+3n),(m-n))$ abbiano rango $1$, il che equivale a $\{(2m + 3n =0), (m - n !=0):} <=> \{(m = -3/2 n), (n!=0):}$; una soluzione è $m=-3, n=2$, che implica $mathbf(p) =(-3, -3, 2)$, dunque $p:\{( x= -3 t), (y = -3t), (z = 2 + 2 t):}$ è la retta cercata (ed interseca $s$ nel punto corrispondente a $t=-2/5$ i.e. $Q=(6/5, 6/5, 6/5)$.

Analogamente, per trovare $p bot s$ (quesito 2) basta imporre la condizione di ortogonalità tra il vettore direzionale $mathbf(p) = (-m - 3n, m, n)$ di $p$ ed il vettore direzionale $mathbf(s)= (1, 1, 1)$ di $s$: ciò si fa richiedendo $mathbf(p) * mathbf(s) = -m-3n+m+n = 0$ ossia scegliendo $n=0$; fissando anche il parametro libero $m=1$, otteniamo $mathbf(p) = (-1, 1, 0)$ e $p:\{(x = -t), (y= t), (z=2):}$.
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Re: Problema Geometria nello Spazio.

Messaggioda iProveZ » 05/11/2019, 08:10

Ok grazie mille :D ho solo 2 dubbi perché occorre che il rango sia $= 1$ non basterebbe imporlo pari a $2$? Invece se volessi trovare le rette che hanno distanza $1$ da $s$ basterebbe usare la formula distanza retta-retta?
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Re: Problema Geometria nello Spazio.

Messaggioda gugo82 » 05/11/2019, 15:25

iProveZ ha scritto:Ok grazie mille :D ho solo 2 dubbi perché occorre che il rango sia $= 1$ non basterebbe imporlo pari a $2$?

Quante incognite ha il sistema?

iProveZ ha scritto:Invece se volessi trovare le rette che hanno distanza $1$ da $s$ basterebbe usare la formula distanza retta-retta?

Beh, sì… Prova. :wink:
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Re: Problema Geometria nello Spazio.

Messaggioda iProveZ » 06/11/2019, 16:02

Ok ho 2 incognite, il fatto è che ancora non ci hanno spiegato a risolvere i problemi utilizzando le matrici e il rango :( comunque per quanto riguarda la distanza basta utilizzare la formula distanza di un punto di una retta da un’altra e imporla uguale a 1? Perché non so se basta per definire la retta che ha distanza 1 da s?
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Re: Problema Geometria nello Spazio.

Messaggioda gugo82 » 06/11/2019, 16:58

iProveZ ha scritto:Ok ho 2 incognite

Beh, no.

Non tirare ad indovinare; leggi quello che ho scritto.
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Re: Problema Geometria nello Spazio.

Messaggioda iProveZ » 06/11/2019, 23:23

No scusa, come incognita ho solamente la $t$, però continuo a non capire perché il rango sia $1$ :(
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Re: Problema Geometria nello Spazio.

Messaggioda Anasclero » 07/11/2019, 15:44

Guarda penso per il fatto che la matrice completa è una 2x2 mentra quella dei coefficienti una 2x1 e per il teorema di Rouché-Capelli affinchè il sistema sia compatibile, devono avere lo stesso rango
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