Dubbio sulla copertura lineare (Linear Span)

Messaggioda Saverio00 » 09/11/2019, 10:14

Buon giorno a tutti,
vorrei proporvi un dubbio (probabilmente banale) a cui però non riesco a dare una spiegazione.
In classe abbiamo trattato la copertura lineare di un sistema o di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale e abbiamo verificato che è un sottospazio.

Dato S un sistema o sottoinsieme di uno spazio vettoriale V la copertura lineare è, per definizione, l'insieme di tutte le combinazioni lineari di S.
Volevo però chiedervi, come mai questa definizione è equivalente a dire che la copertura lineare è il più piccolo sottospazio di V contenente S?

Non riuscendo a dimostrare questa affermazione, ho provato a farmi un'idea di ciò che volesse significare e penso che, dato che ogni sottosistema di V contiene alcuni vettori di V e le loro combinazioni lineari (essendo stabili rispetto alla somma e al prodotto) e quindi L(S) è il più piccolo che contiene tutti i vettori di S e le sue combinazioni lineari.

Spero tanto che voi possiate darmi una mano nel risolvere questo problema, a presto!
Saverio00
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 1 di 8
Iscritto il: 09/11/2019, 09:58

Re: Dubbio sulla copertura lineare (Linear Span)

Messaggioda Indrjo Dedej » 09/11/2019, 18:38

Tu come formalizzeresti questo concetto anzitutto?
Saverio00 ha scritto:la copertura lineare è il più piccolo sottospazio di V contenente S?
In Matematica capire cosa sta scritto è quasi tutta la soluzione.

Ah, tra l'altro vedo che è il tuo primo messaggio: benvenuto! :smile:
Io non sono uomo, sono dinamite. ~ Nietzsche
Avatar utente
Indrjo Dedej
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 783 di 806
Iscritto il: 31/05/2016, 19:58
Località: Milano

Re: Dubbio sulla copertura lineare (Linear Span)

Messaggioda Saverio00 » 09/11/2019, 19:58

Indrjo Dedej ha scritto:Tu come formalizzeresti questo concetto anzitutto?
Saverio00 ha scritto:la copertura lineare è il più piccolo sottospazio di V contenente S?
In Matematica capire cosa sta scritto è quasi tutta la soluzione.

Ah, tra l'altro vedo che è il tuo primo messaggio: benvenuto! :smile:



Mi viene da pensare che è l'intersezione dei sottospazi di V che contengono S. Non so però come proseguire e non so nemmeno motivare la frase a cui tu hai risposto, è il problema principale

P.s. Grazie del benvenuto!
Saverio00
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 2 di 8
Iscritto il: 09/11/2019, 09:58

Re: Dubbio sulla copertura lineare (Linear Span)

Messaggioda Indrjo Dedej » 10/11/2019, 04:45

Ancora più semplicementre potresti pensare così: la copertura lineare è contenuto in ogni sottospazio di \(V\) contenente \(S\). Ora una buona definizione formale sarebbe questa:
una copertura lineare di un sottoinsieme \(S\) di uno spazio vettoriale \(V\) è un sottospazio \(C\) contenente \(S\) e con questa proprietà: per ogni sottospazio \(C'\) di \(V\) contenente \(S\) si ha \(C \subseteq C'\).
Ora per dimostrare l'equivalenza dovresti dimostrare che ciascuna delle due definizioni implica l'altra.

(Alla fin della fiera, sì, il più piccolo sottospazio contenente \(S\) è l'interesezione di tutti i sottospazi contenenti \(S\).)
Io non sono uomo, sono dinamite. ~ Nietzsche
Avatar utente
Indrjo Dedej
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 784 di 806
Iscritto il: 31/05/2016, 19:58
Località: Milano

Re: Dubbio sulla copertura lineare (Linear Span)

Messaggioda Saverio00 » 10/11/2019, 20:06

Indrjo Dedej ha scritto:Ancora più semplicementre potresti pensare così: la copertura lineare è contenuta in ogni sottospazio di \(V\) contenente \(S\).


Purtroppo non riesco proprio a farmene una ragione
Provo a fare un esempio.
Sia lo spazio vettoriale $ V=R^2 $ su $ K=R $ lo spazio vettoriale e sia $ L(S) $ la copertura lineare della base standard, ovvero $V$ stesso. Sia dunque $ W<=V$ e $S sube V $ . Il sottospazio $ W $ di $ V $ , contenendo anch'esso $ S $ , non dovrà dunque essere contenuto e non contenere $ L(S) $ ?
Saverio00
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 3 di 8
Iscritto il: 09/11/2019, 09:58

Re: Dubbio sulla copertura lineare (Linear Span)

Messaggioda gugo82 » 10/11/2019, 21:10

Qual è l’unico sottospazio che contiene tutti i vettori della base canonica?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 22755 di 22958
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Dubbio sulla copertura lineare (Linear Span)

Messaggioda Sergio » 10/11/2019, 22:37

Saverio00 ha scritto:Sia dunque $ W<=V$ e $S sube V $

E come definisci \(<\) in questo contesto? Non può certo voler dire "ha un vettore in meno" oppure "i suoi vettori sono più piccoli"!
Può voler dire solo (in questo contesto) che i vettori di \(W\) non generano tutto \(V\). Quindi \(W\le V\) vuol dire: i vettori di \(W\) generano tutto \(V\), oppure solo un suo sottospazio proprio.
Diciamo ora che abbiamo tre sottospazi di \(V\): \(S\), \(U\) e \(W\).
Diciamo anche che \(U\) e \(W\) contengono \(S\).
Che vuol dire? Vuol dire che tutti i vettori di \(S\) possono essere generati da vettori di \(U\) o di \(W\). E possiamo anche dire \(S\le U\) o \(S\le W\), nel senso appena precisato.
Poniamo ora che sia \(S=U\) e \(S<W\) (NB: quindi anche \(S<V\)).
Cos'è \(U\)? Essendo uguale a \(S\), non è altro che l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori appartenenti a \(S\).
Cos'è \(W\)? Uno spazio vettoriale i cui vettori generano tutti i vettori in \(S\), ma generano anche vettori che non appartengono a \(S\).
Hai ovviamente \(U<W\).

Puoi avere un altro sottospazio \(X<U\) che "contenga" \(S\)? No, perché se \(X\) non può generare tutto \(U\) non può nemmeno generare tutto \(S\).

Saverio00 ha scritto:Sia lo spazio vettoriale $ V=R^2 $ su $ K=R $ lo spazio vettoriale e sia $ L(S) $ la copertura lineare della base standard, ovvero $V$ stesso. Sia dunque $ W<=V$ e $S sube V $ . Il sottospazio $ W $ di $ V $ , contenendo anch'esso $ S $ , non dovrà dunque essere contenuto e non contenere $ L(S) $ ?

Così ti metti in una sorta di vicolo cieco: se \(S=V\), qualsiasi sottospazio di \(V\) ("contenuto" in \(V\)), che si chiami \(W\) o altro, se "contiene" \(S\), cioè \(V\), ne è anche contenuto perché \(W=V=S\) vuol dire \(W\subseteq S\) e \(S\subseteq W\). Non mi pare l'esempio più idoneo :wink:
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
Avatar utente
Sergio
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6209 di 6252
Iscritto il: 26/04/2004, 10:56
Località: Roma

Re: Dubbio sulla copertura lineare (Linear Span)

Messaggioda Saverio00 » 12/11/2019, 08:12

gugo82 ha scritto:Qual è l’unico sottospazio che contiene tutti i vettori della base canonica?


Intendi la base canonica dello spazio vettoriale? In tal caso, lo spazio vettoriale stesso.

Sergio ha scritto:
Saverio00 ha scritto:Sia dunque $ W<=V $ e $ S sube V $

Può voler dire solo (in questo contesto) che i vettori di \( W \) non generano tutto \( V \). Quindi \( W\le V \) vuol dire: i vettori di \( W \) generano tutto \( V \), oppure solo un suo sottospazio proprio.
:wink:


Okay si, ora mi è finalmente chiaro. Grazie del consiglio!
Saverio00
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 4 di 8
Iscritto il: 09/11/2019, 09:58


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: AdsBot [Google] e 8 ospiti