Passa al tema normale
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia

Regole del forum

Consulta il nostro regolamento e la guida per scrivere le formule
Rispondi al messaggio

Copertura lineare come "il più piccolo sottospazio" ...

10/11/2019, 13:37

Molte volte trovo definizioni che non mi aiutano
nella comprensione della materia. Pensavo di
aver capito la definizione di copertura lineare
e riesco a svolgere gli esercizi. Ma la definizione
di "più piccolo sottospazio" non riesce a fornirmi
valore aggiunto. Il mio prof. spiega: "Sia ora $S$
un sottinsieme di $V$. Diremo "sottospazio
generato da $S$" il sottospazio intersezione di
tutti i sottospazi di $V$ che contengono $S$.
Indicheremo con $L(S)$ il sottospazio generato
da $S$. Risulta del tutto evidente che $L(S)$ è
"il più piccolo" sottospazio di $V$ che include $S$".

Se debbo fornire qualcosa di geometrico alla mia
immaginazione, non riesco a pensare ad altro che
a un vettore passante per l'origine. E' evidente
che la sua copertura altro non possa essere che
la retta che lo contiene, che è un sottospazio.

E' il più piccolo? In realtà, sì, perché tutti gli altri
sottospazi che riesco a immaginare sono piani per
l'origine (che costituiscono la copertura lineare di
almeno due vettori passanti per l'origine), che
rappresentano il fascio di piani che passa per la
retta detta. Quindi la retta detta ne costituisce
l'intersezione ... Ma $S$ come sottinsieme formato
da un solo vettore, che fornisce la retta, ed $S_i$,
che è il generico sottospazio di $V$ formato dai due
generici vettori che formano il generico
piano-sottospazio sono, evidentemente, diversi ...

Si tratterebbe, anche, di un'inclusione insiemistica
propria.

La retta ha $dim 1$ e i piani $dim 2$.

Si parla, infatti, di "tutti i sottospazi di $V$ che
contengono $S$". E tutti gli $S_i$ così immaginati
lo sarebbero. Esistono altri esempi "concreti" corretti?

E' questo il potere esplicativo della definizione riferita?

Qualcuno, gentilmente, può darmi una mano? Grazie $oo$!

Re: Copertura lineare come "il più piccolo sottospazio" ...

10/11/2019, 18:53

Ciao. Ma tu sai che significa e come si interpreta "il più piccolo"? Cioè, sai cos'è una relazione d'ordine e dunque un poset?

p.s. Perché scrivi in endecasillabi?

Re: Copertura lineare come "il più piccolo sottospazio" ...

10/11/2019, 19:44

marco2132k ha scritto:p.s. Perché scrivi in endecasillabi?

Grande! :-D

Re: Copertura lineare come "il più piccolo sottospazio" ...

10/11/2019, 20:19

Ma dai, è solo un "copia e incolla" comprensivo di "a capo" :wink:

Re: Copertura lineare come "il più piccolo sottospazio" ...

10/11/2019, 20:33

Elisa_T ha scritto:E' il più piccolo? In realtà, sì

E questo è l'essenziale: quello che viene dichiarato "del tutto evidente" ti torna.
Però...

Elisa_T ha scritto:Ma $S$ come sottoinsieme formato
da un solo vettore, che fornisce la retta, ed $S_i$,
che è il generico sottospazio di $V$ formato dai due
generici vettori che formano il generico
piano-sottospazio sono, evidentemente, diversi ...
La retta ha dim1 e i piani dim2.

Sì, ma sono comunque sottospazi di \(V\).

Ti basta uno spazio di dimensione 1 per una retta passante per l'origine, ti basta un vettore come \(v=(1)\). I multipli di \(v\), \(\alpha v\), saranno i punti della retta distanti \(\alpha\) dall'origine.
Puoi così ottenere uno spazio vettoriale rappresentabile con una retta, ad es. con la famosa "retta reale".
Problema (effettivo): in uno spazio simile non c'è posto per i piani.
Analogamente, ti basta uno spazio di dimensione 2 per un piano passante per l'origine, ti bastano due vettori del tipo \(v_1=(1,0)\) e \(v_2=(0,1)\).
Ottieni così uno spazio vettoriale rappresentabile con un piano, ad es. col famoso "piano cartesiano".
Problema (effettivo): in uno spazio simile non c'è posto per fasci di piani.
In altri termini, sorgono problemi se, quando immagini rette e piani, immagini spazi generati da \(\{v\}\) o da \(\{v_1,v_2\}\), che non sono sottospazi di spazi di dimensione maggiore.

Immagina ora che \(V=\mathbb{R}^3\).
Per avere una retta non ci fai nulla con un \(v=(1)\), che non può appartenere a \(V\), ti serve un vettore di tre elementi, ad esempio \(v_1=(1,0,0)\).
Analogamente, per avere un piano ti servono due vettori di tre elementi, ad esempio \(v_1=(1,0,0)\) e \(v_2=(0,1,0)\), oppure \(v_1=(1,0,0)\) e \(v_2=(0,0,1)\).
Se immagini così, il fatto che rette e piani hanno dimensioni diverse non crea alcun problema: sempre sottospazi di \(V\) sono. Ed è del tutto normale che sottospazi di uno spazio vettoriale di dimensione \(d\) abbiano dimensione minore di \(d\).

Re: Copertura lineare come "il più piccolo sottospazio" ...

12/11/2019, 10:52

Grazie, Sergio, della risposta! Evidentemente, quando scrivevo in merito
alle dimensioni, intendevo le dimensioni - cioè il numero dei vettori che
compongono la base - dei sottospazi che citavo. Solo rette e piani
(posti in fascio o meno) per l'origine perché - per poter essere sottospazi -
devono contenere lo $0$.

Quanto tu scrivi è molto chiaro, ma a me resta il dubbio se io ho davvero
ben compreso la definizione del prof. - e delle sue dispense - e se gli
esempi che mi sono immaginata (perché senza esempi di "concretezza
geometrica", almeno io, non riesco a capire l'algebra lineare iniziale)
siano effettivamente corretti e/o non se ne possano formulare di più
adeguati.

Ad es., senza l'esempio dei piani di un fascio che s'intersecano in una
retta (per l'origine) sarò priva di fantasia, ma non riesco a immaginare
nessun altro esempio semplice e immediato di intersezione di sottospazi
come richiesto dalla definizione ("l'intersezione di tutti i sottospazi di $V$
- ad es., $RR^3$ -che contengono $S$" - ad es., un singolo vettore per
l'origine la cui copertura lineare - $L(S)$ - altro non può essere che una
retta").

Grazie ancora!

Re: Copertura lineare come "il più piccolo sottospazio" ...

12/11/2019, 11:55

Se si potesse capire solo quello che si riesce a immaginare in forma geometrica si andrebbe poco lontano. Basta pensare a spazi di dimensione maggiore di 3.
C'è stata qui una discussione "non geometrica" sull'argomento. Hai visto se ti può essere utile?

Re: Copertura lineare come "il più piccolo sottospazio" ...

12/11/2019, 12:41

Grazie! approfondirò.
Rispondi al messaggio