Esercizio d'esame

Messaggioda caffeinaplus » 10/11/2019, 14:03

Salve a tutti :-D

Visto che piano piano ci stiamo avvicinando al periodo di esami, ho iniziato a provare i temi d'esame degli scorsi anni dei quali la mia prof sfortunatamente non da soluzione :cry:

Quindi spero in una vostra correzione del mio svolgimento :-D

Sia $V=RR_4[x]$ e sia $L_h$ un suo sottospazio tale che

$L_h = {
f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4:$

$
{ (a_0+a_1-a_2+a_4=0 ),(2a_0-a_1+a_2+2a_4=0 ),( -a_0-4a_1+4a_2+(h+3)a_4=0 ):}
$


$}$

determinare:

  • La dimensione del sottospazio al variare di $h$
  • una base di $L_2$ quando $h=2$
  • un sottospazio supplementare di $L_2$ in $V$



Svolgimento:

PUNTO 1)

Inizio a studiare che relazioni ci sono tra i coefficienti per stabilire la dimensione del sottospazio.
Allora per farlo utilizzo il teorema dell'isomorfismo coordinato che mi fa passare da una situazione in $RR_4[x]$ ad una in $RR^5$

quindi con l'utilizzo di una matrice studio questi vettori ottenuti

$ A = ( ( 1 , 1 , -1 , 0 , 1 ),( 2 , -1 , 1 , 0 , 2 ),( -1 , -4 , 4 , 0 , h+3 ) ) $

che dopo qualche passaggio mi porta a stabilire che

${(a_0=-a_4), (a_1=a_2),(a_4(h+4)=0),((AAa_3, AAa_2)):}$

Quindi si ha che se $h=-4$ la dimensione del mio sottospazio è $3$ altrimenti è $2$


PUNTO 2)

Sia $h=2$ allora $dim_(RR)(L_2)=2$ grazie a quanto stabilito nel punto precedente.

Studio la matrice associata e ottengo due vettori per formare una base $u_1=(0,1,1,0,0), u_2=(0,0,0,1,0)$

PUNTO 3)

Dato che voglio un sottospazio supplementare a $L_2$ si ha che, detto $W$ tale sottospazio $dim_(RR)W=3$

Noto che lo spazio $L_2$ non ha possibilità di generare vettori del tipo $(a,0,0,0,0), (0,b,0,0,0), (0,0,0,0,c)$

Quindi decido che $W = (1,0,0,0,0), (0,1,0,0,0),(0,0,0,0,1)$

Se pongo in una matrice entrambe le basi, la matrice risulta avere rango massimo, cioè $5$.
Dunque i vettori risultano tutti linearmente indipendenti, dunque $L_2$ e $W$ sono in somma diretta e inoltre $L_2+W = RR^5$.

Grazie al teorema dell'isomorfismo coordinato posso dire di aver risolto lo stesso problema per $RR_4[x]$.


Spero in una vostra correzione o suggerimenti in generale per rendere più "puliti" possibili i vari passaggi, dato che mi piacerebbe riuscire ad ottenere un buon voto :-D
caffeinaplus
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Re: Esercizio d'esame

Messaggioda Bokonon » 10/11/2019, 15:05

caffeinaplus ha scritto:Quindi si ha che se $h=-4$ la dimensione del mio sottospazio è $3$ altrimenti è $2$

E' l'opposto. Prendiamo la matrice:
$ A = ( ( 1 , 1 , -1 , 0 , 1 ),( 2 , -1 , 1 , 0 , 2 ),( -1 , -4 , 4 , 0 , h+3 ) ) $
e usiamo Gauss Jordan
$A rArr ( ( 1 , 1 , -1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , h+4 ) )$
Abbiamo tre pivot $a_(1,1)=1$, $a_(2,2)=1$ e infine $a_(4,4)=h+4$

Se $h!=-4$ allora i tre pivot sono diversi da zero: le tre righe di A formano una base di $L_h$, che ha dimensione 3.

Se $h=-4$ allora ci sono due pivot diversi da zero: la prima e la seconda riga di A formano una base di $L_(-4)$, che ha dimensione 2.

$L_2$ quindi ha dimensione 3 e il suo spazio supplementare ha dimensione 2. Una base comoda da trovare per lo spazio supplementare è il kernel di A, ovvero una base dello spazio ortogonale a $L_2$.
Quindi completando la soluzione del sistema omogeneo per $h=2$, da
$( ( 1 , 1 , -1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 6 ) )$
otteniamo che $L_2^(_|_)=span{( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) }$
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Re: Esercizio d'esame

Messaggioda caffeinaplus » 10/11/2019, 16:31

Cavolo ho fatto un errore veramente madornale :oops: grazie mille!

Edit: un appunto per capire meglio.
Io so che il sottospazio è descritto da quelle equazioni.
Se $h=-4$ non è allora vero che l'equazione è risolta $AA a_4$ dato che risulterebbe $0=0$ sempre?
(oppure ho sbagliato i conti e il sistema che ne esce è sbagliato :lol:)
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