Esercizio d'esame
Inviato: 10/11/2019, 14:03
Salve a tutti
Visto che piano piano ci stiamo avvicinando al periodo di esami, ho iniziato a provare i temi d'esame degli scorsi anni dei quali la mia prof sfortunatamente non da soluzione
Quindi spero in una vostra correzione del mio svolgimento
Svolgimento:
PUNTO 1)
Inizio a studiare che relazioni ci sono tra i coefficienti per stabilire la dimensione del sottospazio.
Allora per farlo utilizzo il teorema dell'isomorfismo coordinato che mi fa passare da una situazione in $RR_4[x]$ ad una in $RR^5$
quindi con l'utilizzo di una matrice studio questi vettori ottenuti
$ A = ( ( 1 , 1 , -1 , 0 , 1 ),( 2 , -1 , 1 , 0 , 2 ),( -1 , -4 , 4 , 0 , h+3 ) ) $
che dopo qualche passaggio mi porta a stabilire che
${(a_0=-a_4), (a_1=a_2),(a_4(h+4)=0),((AAa_3, AAa_2)):}$
Quindi si ha che se $h=-4$ la dimensione del mio sottospazio è $3$ altrimenti è $2$
PUNTO 2)
Sia $h=2$ allora $dim_(RR)(L_2)=2$ grazie a quanto stabilito nel punto precedente.
Studio la matrice associata e ottengo due vettori per formare una base $u_1=(0,1,1,0,0), u_2=(0,0,0,1,0)$
PUNTO 3)
Dato che voglio un sottospazio supplementare a $L_2$ si ha che, detto $W$ tale sottospazio $dim_(RR)W=3$
Noto che lo spazio $L_2$ non ha possibilità di generare vettori del tipo $(a,0,0,0,0), (0,b,0,0,0), (0,0,0,0,c)$
Quindi decido che $W = (1,0,0,0,0), (0,1,0,0,0),(0,0,0,0,1)$
Se pongo in una matrice entrambe le basi, la matrice risulta avere rango massimo, cioè $5$.
Dunque i vettori risultano tutti linearmente indipendenti, dunque $L_2$ e $W$ sono in somma diretta e inoltre $L_2+W = RR^5$.
Grazie al teorema dell'isomorfismo coordinato posso dire di aver risolto lo stesso problema per $RR_4[x]$.
Spero in una vostra correzione o suggerimenti in generale per rendere più "puliti" possibili i vari passaggi, dato che mi piacerebbe riuscire ad ottenere un buon voto
Visto che piano piano ci stiamo avvicinando al periodo di esami, ho iniziato a provare i temi d'esame degli scorsi anni dei quali la mia prof sfortunatamente non da soluzione
Quindi spero in una vostra correzione del mio svolgimento
Sia $V=RR_4[x]$ e sia $L_h$ un suo sottospazio tale che
$L_h = {
f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4:$
$
{ (a_0+a_1-a_2+a_4=0 ),(2a_0-a_1+a_2+2a_4=0 ),( -a_0-4a_1+4a_2+(h+3)a_4=0 ):}
$
$}$
determinare:
- La dimensione del sottospazio al variare di $h$
- una base di $L_2$ quando $h=2$
- un sottospazio supplementare di $L_2$ in $V$
Svolgimento:
PUNTO 1)
Inizio a studiare che relazioni ci sono tra i coefficienti per stabilire la dimensione del sottospazio.
Allora per farlo utilizzo il teorema dell'isomorfismo coordinato che mi fa passare da una situazione in $RR_4[x]$ ad una in $RR^5$
quindi con l'utilizzo di una matrice studio questi vettori ottenuti
$ A = ( ( 1 , 1 , -1 , 0 , 1 ),( 2 , -1 , 1 , 0 , 2 ),( -1 , -4 , 4 , 0 , h+3 ) ) $
che dopo qualche passaggio mi porta a stabilire che
${(a_0=-a_4), (a_1=a_2),(a_4(h+4)=0),((AAa_3, AAa_2)):}$
Quindi si ha che se $h=-4$ la dimensione del mio sottospazio è $3$ altrimenti è $2$
PUNTO 2)
Sia $h=2$ allora $dim_(RR)(L_2)=2$ grazie a quanto stabilito nel punto precedente.
Studio la matrice associata e ottengo due vettori per formare una base $u_1=(0,1,1,0,0), u_2=(0,0,0,1,0)$
PUNTO 3)
Dato che voglio un sottospazio supplementare a $L_2$ si ha che, detto $W$ tale sottospazio $dim_(RR)W=3$
Noto che lo spazio $L_2$ non ha possibilità di generare vettori del tipo $(a,0,0,0,0), (0,b,0,0,0), (0,0,0,0,c)$
Quindi decido che $W = (1,0,0,0,0), (0,1,0,0,0),(0,0,0,0,1)$
Se pongo in una matrice entrambe le basi, la matrice risulta avere rango massimo, cioè $5$.
Dunque i vettori risultano tutti linearmente indipendenti, dunque $L_2$ e $W$ sono in somma diretta e inoltre $L_2+W = RR^5$.
Grazie al teorema dell'isomorfismo coordinato posso dire di aver risolto lo stesso problema per $RR_4[x]$.
Spero in una vostra correzione o suggerimenti in generale per rendere più "puliti" possibili i vari passaggi, dato che mi piacerebbe riuscire ad ottenere un buon voto