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[EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

12/11/2019, 09:40

Propongo il seguente esercizio:

Teorema Falso:
Sia \( (X , \tau) \) uno spazio topologico compatto. Sia \( \{x_n\}_{n\ge 0} \subset X \). Allora esistono una sottosuccessione \( \{x_{n_k}\}_{k \ge 0 } \subset \{x_n\}_{n\ge 0} \) e $x \in X$ tali che
\[ x_{n_k} \overset{k \to + \infty }{\to} x. \]

Dimostrazione Falsa:
Sia \( \{x_n\}_{n\ge 0} \subset X \) e supponiamo per assurdo che non ammetta sottosuccessioni convergenti. Allora per ogni $x \in X$ esiste un intorno aperto di $x$ tale che la successione è definitivamente esterna a tale intorno. Siccome $X$ è compatto esiste un numero finito di tali intorni che ricopre $X$. Allora la successione è definitivamente esterna a tutto $X$. Assurdo.

Dove è l'errore? Perché?

Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

12/11/2019, 10:36

@arnett
L'idea è corretta, ma ci vuole un controesempio :-D

La teoria dei filtri non è necessaria, non saprei se aiuta!

Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

12/11/2019, 12:47

@arnett
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
:smt023
Questo tuo esempio, aggiunto al fatto che ogni successione in uno spazio topologico compatto ha punti di accumulazione contraddice l'affermazione di prima. Cioè non è vero che per ogni $x$ esiste un intorno dal quale la successione è esterna definitivamente.
Ci saranno degli $x$ vicino ai quali c'è sempre qualche elemento della successione ma essa non deve necessariamente convergere (in sottosuccessione) a $x$.


Comunque complimenti per la pronta risposta! Sono deciso a mettere uno-due esercizi alla settimana in modo da ravvivare un po' la situazione che troppo spesso vira verso l'esclusivo aiuto compiti. Chissà per quanto manterrò questo proposito :D

Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

12/11/2019, 19:44

Bellino questo problema. Per un momento mi hai fregato, confondendo "definitivamente" e "per infiniti indici", un vecchio trucco ma ci casco ancora. Per questo mi è piaciuto l'esercizio.

Quanto al controesempio, anche la sfera unitaria di \(L^1(\mathbb R)\) con la topologia debole-star lo è. Si tratta di uno spazio topologico compatto, perché si può realizzare come uno strampalato prodotto topologico di compatti, e quindi è compatto per Tychonoff (vedere Eidelman-Milman-Tsolomitis). Ma non è sequenzialmente compatto; ciò implicherebbe che \(L^1(\mathbb R)\) è riflessivo. In effetti andrebbe bene un qualsiasi spazio di Banach non riflessivo, in luogo di \(L^1(\mathbb R)\). E in fondo è sempre lo stesso esempio di arnett; una roba che è compatta per Tychonoff, ma non è "davvero" compatta.
Ultima modifica di dissonance il 13/11/2019, 09:40, modificato 1 volta in totale.

Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

12/11/2019, 22:21

Cavolo mi piacciono queste discussioni ma ormai è stato detto più o meno quello che avrei detto anche io.
Però visto che ci sono intervengo lo stesso
Bremen000 ha scritto:Sono deciso a mettere uno-due esercizi alla settimana in modo da ravvivare un po' la situazione che troppo spesso vira verso l'esclusivo aiuto compiti. Chissà per quanto manterrò questo proposito :D

Anche io tempo fa avevo avuto la stessa idea, non so se ti ricordi. Sono durato un esercizio solo :oops:

dissonance ha scritto:Quanto al controesempio, anche la sfera unitaria di \( L^1(\mathbb R) \) con la topologia debole-star lo è. Si tratta di uno spazio topologico compatto, perché si può realizzare come uno stampalato prodotto topologico di compatti, e quindi è compatto per Tychonoff (vedere Eidelman-Milman-Tsolomitis). Ma non è sequenzialmente compatto; ciò implicherebbe che $L^1(RR)$ è riflessivo.

Ma come mai non sarebbe compatto per successioni? Come la compattezza per successioni implicherebbe la riflessività dello spazio?

E in fondo è sempre lo stesso esempio di arnett; una roba che è compatta per Tychonoff, ma non è "davvero" compatta.

Si che è compatta :-D

Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

13/11/2019, 09:17

otta96 ha scritto:[...] Anche io tempo fa avevo avuto la stessa idea, non so se ti ricordi. Sono durato un esercizio solo :oops: [...]

Si mi ricordo! Be' per adesso siamo pari :-D

otta96 ha scritto:[...]
Si che è compatta :-D


E non fare il geometra.... :D

Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

13/11/2019, 10:02

Non sono stato chiaro nel mio post precedente. Quello che volevo dire è tutto nella pagina di Wikipedia:
https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2 ... lu_theorem

(la compattezza che uno può davvero usare nelle applicazioni alle PDE e al calcolo variazionale è quella sequenziale).

Quanto agli spazi riflessivi e non, è tutto scritto qui:

https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2 ... nsequences

Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

13/11/2019, 10:06

Bremen000 ha scritto:E non fare il geometra.... :D

Non faccio il geometra faccio il matematico.

13/11/2019, 10:10

Il "teorema" sarebbe vero se si aggiunge l'ipotesi che lo spazio sia primo numerabile.

Il mio esempio1: \(\displaystyle(I=[0,1],\mathcal{T}_{nat})\), su \(\displaystyle I^I\) si consideri la topologia prodotto; per il teorema di Tikhonov questi è uno spazio compatto, ma non né \(\displaystyle\mathrm{N}_1\) e né compatto per successioni.

Note

  1. A mio parere, il più facile che io conosca.

Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

13/11/2019, 10:12

Tra l'altro sapere quando una potenza di $I$ è compatta per successioni è molto più complicato di quanto si pensi.
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