Propongo il seguente esercizio:
Teorema Falso:
Sia \( (X , \tau) \) uno spazio topologico compatto. Sia \( \{x_n\}_{n\ge 0} \subset X \). Allora esistono una sottosuccessione \( \{x_{n_k}\}_{k \ge 0 } \subset \{x_n\}_{n\ge 0} \) e $x \in X$ tali che
\[ x_{n_k} \overset{k \to + \infty }{\to} x. \]
Dimostrazione Falsa:
Sia \( \{x_n\}_{n\ge 0} \subset X \) e supponiamo per assurdo che non ammetta sottosuccessioni convergenti. Allora per ogni $x \in X$ esiste un intorno aperto di $x$ tale che la successione è definitivamente esterna a tale intorno. Siccome $X$ è compatto esiste un numero finito di tali intorni che ricopre $X$. Allora la successione è definitivamente esterna a tutto $X$. Assurdo.
Dove è l'errore? Perché?