Considera uno spazio di Hausdorff compatto \( (X,\tau_X) \) tale che nessun singoletto è aperto. Dimostra che \(X \) non è numerabile. Deduci che \( [0,1] \) non è numerabile.
Io ho pensato a questo
Supponiamo per assurdo che sia numerabile e consideriamo dunque una biiezione \( f: \mathbb{N} \to X \).
Consideriamo ora una collezione di aperti \( (U_i)_{i \in \mathbb{N}} \), tale che \( U_i \subseteq U_{i+1} \) e tale che \( f(i) \in U_i \). Allora è chiaro che \( X=\bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} U_i \).
Definiamo \( C_i := X \setminus U_i \). Chiaramente \(f(i)\not\in C_i \), e abbiamo inoltre che \( C_{i+1} \subseteq C_i \).
Abbiamo inoltre che \( X \setminus \bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} U_i = \bigcap\limits_{i \in \mathbb{N}} X \setminus U_i=\bigcap\limits_{i \in \mathbb{N}} C_i = \emptyset \).
Siccome \( X \) è compatto abbiamo che esiste una sottocollezione \( (C_i)_{i \in I_0} \) tale che \( I_0 \subset \mathbb{N} \) e tale che \( \operatorname{card}(I_0)< \infty \), tale che \( \emptyset=\bigcap\limits_{i \in I_0} C_i\).
Siccome \( X \) è anche Hausdorff abbiamo che \( \forall K_1,K_2 \) insiemi chiusi esistono due aperti \( K_1\subseteq A_1,K_2\subseteq A_2 \) tale che \( A_1 \cap A_2= \emptyset \).
Abbiamo pertanto l'esistenza di una collezione di aperti \((A_i)_{i \in I_0} \) tale che \( C_i \subseteq A_i \), tale che \( \emptyset=\bigcap\limits_{i \in I_0} A_i\).
Dunque \( X \setminus A_i \subseteq U_i \)
Pertanto \( X= X \setminus \emptyset =X \setminus \bigcap\limits_{i \in I_0} A_i = \bigcup\limits_{i \in I_0} X \setminus A_i \).
Non so come continuare per dimostrare che \( \bigcup\limits_{i \in I_0} X \setminus A_i \neq X \).
Quindi penso che quanto fatto da me sia inutile...