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I seguenti spazi con la topologia standard sono compatti o no?
- \( \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \)
- \( \operatorname{SL}_n(\mathbb{R}) \)

Allora in primo luogo non ho idea di quale sia la topologia standard di questi due spazi
In secondo luogo
Per \( \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \) direi che non è compatto poiché esiste una funzione continua \( \det : \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^* \) che non è limitata e contraddice la compattezza!

Per \( \operatorname{SL}_n(\mathbb{R}) \) direi che è compatto ma non so come mostrarlo.

E come fai a dire che è continua se non sai qual è la topologia?
Comunque come topologia si intende quella del sottospazio vedendo $GL(n, RR)$ come sottoinsieme di $M(n, RR) $, identificato con $RR^(n^2)$.
Quindi la tua dimostrazione va bene.

otta96 ha scritto:E come fai a dire che è continua se non sai qual è la topologia?

Ehmm... effettivamente non ci avevo pensato!

otta96 ha scritto:Comunque come topologia si intende quella del sottospazio vedendo $GL(n, RR)$ come sottoinsieme di $M(n, RR) $, identificato con $RR^(n^2)$.

Quindi è la topologia standard di $RR^(n^2)$ ?

Si.

\(\displaystyle\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})\) non è compatto rispetto alla topologia naturale di \(\displaystyle\mathbb{R}^{n^2}\): come lo dimostri?

Facciamo un po' di ordine.

La funzione \(\det\colon \mathrm{M}(n,\mathbb{R})\to \mathbb{R}\) è una funzione polinomiale nella base canonica di \(\mathrm{M}(n,\mathbb{R})\), quindi è continua.

Il testo ti sta chiedendo di dire se \(\mathrm{GL}(n,\mathbb{R}) = \det^{-1}(\mathbb{R}\setminus \{0\})\) e \(\mathrm{SL}(n,\mathbb{R}) = \det^{-1}(\{1\})\) sono compatti.

Nota che \(\mathrm{M}(n,\mathbb{R})\) è uno spazio di Hausdorff, quindi \(\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})\) non può essere compatto (ogni compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso).

Riguardo a \(\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})\) è senz'altro un insieme chiuso, e \(\mathrm{M}(n,\mathbb{R})\) possiede la proprietà di Haine-Borel (in quanto spazio vettoriale reale di dimensione finita). Si tratta di un insieme limitato?

Nota che chiuso e limitato implica compato solo ed esclusivamente negli spazi con la proprietà di Haine-Borel.

vict85 ha scritto:Facciamo un po' di ordine.

La funzione \( \det\colon \mathrm{M}(n,\mathbb{R})\to \mathbb{R} \) è una funzione polinomiale nella base canonica di \( \mathrm{M}(n,\mathbb{R}) \), quindi è continua.

Il testo ti sta chiedendo di dire se \( \mathrm{GL}(n,\mathbb{R}) = \det^{-1}(\mathbb{R}\setminus \{0\}) \) e \( \mathrm{SL}(n,\mathbb{R}) = \det^{-1}(\{1\}) \) sono compatti.

Nota che \( \mathrm{M}(n,\mathbb{R}) \) è uno spazio di Hausdorff, quindi \( \mathrm{GL}(n,\mathbb{R}) \) non può essere compatto (ogni compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso).

Riguardo a \( \mathrm{SL}(n,\mathbb{R}) \) è senz'altro un insieme chiuso, e \( \mathrm{M}(n,\mathbb{R}) \) possiede la proprietà di Haine-Borel (in quanto spazio vettoriale reale di dimensione finita). Si tratta di un insieme limitato?

Nota che chiuso e limitato implica compato solo ed esclusivamente negli spazi con la proprietà di Haine-Borel.

\( \mathrm{SL}(n,\mathbb{R}) \) non è limitato se \(n > 1 \), basta prendere per ogni \( \lambda \neq 0 \) \( \operatorname{diag}(\lambda,\lambda^{-1}, 1,\ldots,1) \) e zero se gli elementi non stanno sulla diagonale, queste matrici hanno determinante \( 1 \). Quindi Però come fai a dire che è un insieme chiuso non mi appare evidente.

Io l'avrei fatto così.
\( \phi : \mathrm{SL}(n,\mathbb{R}) \to \mathbb{R} \) definita come \( A \mapsto \left|\left| A \right|\right|:= \sup_{x \in \mathbb{R}^{n}\setminus \{0\} } \frac{\left|\left| Ax \right|\right|_2}{\left|\left| x \right|\right|_2} \) che è una mappa continua con la topologia standard di \( \mathbb{R}^{n^2} \) in \( \mathrm{SL}(n,\mathbb{R}) \) se \( n > 1 \). Sia \(M_{\lambda} \) la matrice associata all'applicazione lineare \( (x_1,\ldots,x_n) \mapsto (\lambda x_1, \lambda^{-1} x_2, \ldots, x_n ) \) è chiaramente in \( \mathrm{SL}(n,\mathbb{R}) \), per ogni \( \lambda > 0 \). Abbiamo che \( \left|\left| A \right|\right| = \sup_{x \in \mathbb{R}^{n}\setminus \{0\} } \frac{\left|\left| Ax \right|\right|_2}{\left|\left| x \right|\right|_2} \geq \frac{\left|\left| A (1,0\ldots,0)^T \right|\right|_2}{\left|\left| (1,0\ldots,0)^T \right|\right|_2} = \lambda \). Pertanto la mappa \( \phi \) non è limitata. E ciò implica che \(\mathrm{SL}(n,\mathbb{R}) \) non è compatto se \( n \geq 2 \).
Mentre \( \mathrm{SL}(1,\mathbb{R})= \{ (-1), (1) \} \) che possiamo identificare con \( \{ -1,1 \} \) in \(\mathbb{R} \) ed è pertanto un insieme chiaramente limitato e chiuso in quanto \( (-\infty,-1) \cup (-1,1) \cup (1,\infty ) \) aperto. E dunque \( \mathrm{SL}(1,\mathbb{R}) \) è compatto

È controimmagine di un chiuso tramite una funzione continua. Insomma è chiuso quasi per definizione.

vict85 ha scritto:È controimmagine di un chiuso tramite una funzione continua. Insomma è chiuso quasi per definizione.

Hai proprio ragione era evidente