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[V/F] \(AB\) invertibile, allora \(A\) e \(B\) invertibili

17/11/2019, 10:41

Ciao a tutti! Sono nuovo in questo forum. A causa di motivi familiari ho deovuto assentrmi per un certo periodo dagli studi universitari, carriera universitaria tra l'altro iniziata a ottobre (Matematica a Pavia). Sto facendo di tutto per rimettermi al pari dei miei colleghi, ma le matrici non mi vanno proprio a genio.

Ho la seguente affermazione della quale devo dire se è vera o falsa. Siano \(A\) e \(B\) due matrici quadrate \(n \times n\) su \(k\). Se \(AB\) è invertibile, allora lo è pure \(A\). Bounus che mi do: e \(B\)?

Allora, alla matrice \(AB\) è associata l'applicazione lineare \(F_{AB} : k^n \to k^n\), e l'invertibilità di \(AB\) si traduce nell'invertibilità funzionale, e quindi nella biettività. Dalla teoria degli insiemi, so che se \(F_{AB}=F_AF_B\) è biunivoca, allora \(F_A\) è suriettiva e \(F_B\) è iniettiva. Per il teorema delle dimensioni \[\ker A = \ker F_A=n -\text{rk} A=n -n=0\] cioè \(F_A\) è pure iniettiva. Quindi \(F_A\) è invertibile, e \(A\) invertibile. Sarei portato nuovamente a concludere similemente a prima e usando il teorema delle dimensioni, che \(\text{rk}B=n\) e quindi \(B\) è invertibile. Giusto?
Ultima modifica di kaspar il 18/11/2019, 17:28, modificato 1 volta in totale.

Re: Esercizi vero o falso su matrici

17/11/2019, 20:26

Più semplicemente, avrei usato il Teorema di Binet $det(AB)=det(A)*det(B)$ ed il fatto che in $k$ non ci sono divisori di zero.

Re: Esercizi vero o falso su matrici

17/11/2019, 20:48

Come ho detto, sono rimasto un po' indietro rispetto agli altri. Grazie per il modo molto più conciso.
Comunque sia, come ho fatto io va bene lo stesso, è corretto? È che trovo estremamente affascinante il fatto che \[\hom(k^n,k^m) \cong \mathbf{Mat}_k(m,n)\] vorrei approfondire questo lato "strutturalista" sul quale lo stesso S.Lang in prefazione ammette di non insistere troppo. Non sarà certamente il modo più veloce di rimettermi al passo con gli altri :lol: ...

Re: Esercizi vero o falso su matrici

17/11/2019, 23:23

kaspar ha scritto:vorrei approfondire questo lato "strutturalista" sul quale lo stesso S.Lang in prefazione ammette di non insistere troppo. Non sarà certamente il modo più veloce di rimettermi al passo con gli altri :lol: ...

Capisco il fascino del lato "strutturalista", ma potresti trovare una scorciatoia (e rimetterti più velocemente al passo con gli altri) ragionando sul rango delle matrici, lasciando implicito quello delle applicazioni associate.
Infatti, comunque date due matrici \(A\) e \(B\), rispettivamente \(m\times n\) e \(n\times p\), si ha \(\text{rk} AB\le\text{rk} A\) e \(\text{rk} AB\le\text{rk} B\) (spero di ricordare bene...).
Se \(A\) e \(B\) sono quadrate di ordine \(n\) e \(AB\) è invertibile, \(AB\) ha rango \(n\) e pertanto anche \(A\) e \(B\) hanno rango \(n\) e sono entrambe invertibili.

PS: Ho esitato un po', ma lo dico. A mio parere, il fascino del lato "strutturalista" è un altro: non la possibilità di "mischiare" applicazioni lineari e matrici, ma la possibilità di estendere alle applicazioni lineari i risultati che ottieni lavorando sulle matrici, e viceversa.

Re: Esercizi vero o falso su matrici

18/11/2019, 01:19

@ Sergio:
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Sergio ha scritto:Ho esitato un po', ma lo dico. A mio parere, il fascino del lato "strutturalista" è un altro: non la possibilità di "mischiare" applicazioni lineari e matrici, ma la possibilità di estendere alle applicazioni lineari i risultati che ottieni lavorando sulle matrici, e viceversa.

Dillo, ma a bassa voce, altrimenti c’è gente che si sente offesa o perseguitata o sminuita… :roll:

Re: Esercizi vero o falso su matrici

18/11/2019, 08:16

Va bene, ci ho provato. :D Mi pare di capire comunque che quantomeno il metodo che ho seguito sia corretto, anche se è come uccidere una mosca con un cannone. :lol:
@Sergio, grazie per i suggerimenti. Sono conscio che sia una piccolezza e che mi sto emozionando per poco.

PS: Perché "hai esitato"? (Lo chiedo anche per quello che ha detto @gugo82.)

Re: Esercizi vero o falso su matrici

18/11/2019, 10:07

Comunque il tuo metodo andava bene. E non mi sembra tu abbia usato cannoni, semplicemente hai usato una teoria diversa per dimostrare qualcosa relativa alle matrici.

Nota che non serviva fare riferimento alle matrici per dimostrare che per le applicazioni lineari tra spazi vettoriali della stessa dimensione, iniettivo implica suriettivo e viceversa.

Infatti, se l'applicazione lineare \(f\colon \mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^{n}\) è iniettiva allora \( \{ \mathbf{f}_i = f\mathbf{e}_i\}\) è lineramente indipendente per ogni base \(\{\mathbf{e}_i\}\). Siccome lo spazio immagine ha dimensione \(n\), \( \{ \mathbf{f}_i\}\) è una base. Pertanto l'immagine è l'intero codominio.

Il viceversa deriva dal fatto che se l'applicazione lineare non è iniettiva allora la dimensione dell'immagine è sempre minore di quella del dominio. Infatti, se \(f\mathbf{v} = f\mathbf{w}\) allora deve valere una uguaglianza del tipo \(\alpha_1 f\mathbf{e}_1 + \dotsb + \alpha_n f\mathbf{e}_n = \mathbf{0}\) dove gli \(\alpha_i\) non sono tutti \(0\). Quindi se l'immagine ha la stessa dimensione del dominio allora la funzione deve essere iniettiva.

Re: Esercizi vero o falso su matrici

18/11/2019, 10:50

kaspar ha scritto:Perché "hai esitato"? (Lo chiedo anche per quello che ha detto @gugo82.)

Ho esitato perché ognuno affronta lo studio a modo suo.
Quello che ha detto gugo non l'ho capito.

Re: Esercizi vero o falso su matrici

18/11/2019, 13:12

@vict85
Sì, certo che si poteva fare. In sostanza quello che hai fatto tu è quello di dimostrare che un'applicazione lineare da \(k^n\) in sé è iniettiva se e solo se suriettiva senza la necessità di passare prima per il teorema delle dimensioni, come nel mio corso penso sia stato fatto. Grazie, perché è interessante.

Re: Esercizi vero o falso su matrici

18/11/2019, 13:53

Sergio ha scritto:
kaspar ha scritto:Perché "hai esitato"? (Lo chiedo anche per quello che ha detto @gugo82.)

Ho esitato perché ognuno affronta lo studio a modo suo.
Quello che ha detto gugo non l'ho capito.


Gugo82 si riferiva al fatto che nel forum ci sono degli amanti dell'approccio categoriale molto agguerriti. Comunque anche io preferisco evitare i calcoli il più possibile.
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