Esercizio di topologia
Inviato: 18/11/2019, 11:04
Ciao a tutti, ho dei problemi con il seguente esercizio di topologia:
Siano in \(\displaystyle A,B,C\in\mathbb{R}^3 \) gli insiemi definiti da:
\(\displaystyle A=\{(x,y,z)|x^2+y^2=1\}, B=A\cap\{z=0\}, C=\{(x,y,z)|x^2+y^2=z^2\} \).
Mostrare che A/B è omeomorfo a C. (poichè non mi dà il simbolo \sim, indico con - la relazione di equivalenza)
So che A/B è lo spazio quoziente A/$- $ dove $-$ è una relazione di equivalenza tale che:
$\forall a,a'\in A, a- a'\Leftrightarrow a=a'\mbox{oppure } a,a'\in B$.
Per costruire un omeomorfismo da A/B in C, basta costruire $f:A\to C$ identificazione che mi induce su A la relazione $-$ voluta, in questo modo $\bar f$:A/$- to$ C è l'omeo cercato. ($\bar f=f°\pi^-1$)
Ho pensato di costruire $f:A\to C$ nel seguente modo: $\forall (x,y,z)\in A, \ f(x,y,z)=(zx,zy,z)$
$f$ è sicuro continua (perchè lo sono le componenti) ed è surgettiva. Per vedere che è una identificazione, mi basta vedere che è aperta e/o chiusa, ma non so bene come procedere...
Siano in \(\displaystyle A,B,C\in\mathbb{R}^3 \) gli insiemi definiti da:
\(\displaystyle A=\{(x,y,z)|x^2+y^2=1\}, B=A\cap\{z=0\}, C=\{(x,y,z)|x^2+y^2=z^2\} \).
Mostrare che A/B è omeomorfo a C. (poichè non mi dà il simbolo \sim, indico con - la relazione di equivalenza)
So che A/B è lo spazio quoziente A/$- $ dove $-$ è una relazione di equivalenza tale che:
$\forall a,a'\in A, a- a'\Leftrightarrow a=a'\mbox{oppure } a,a'\in B$.
Per costruire un omeomorfismo da A/B in C, basta costruire $f:A\to C$ identificazione che mi induce su A la relazione $-$ voluta, in questo modo $\bar f$:A/$- to$ C è l'omeo cercato. ($\bar f=f°\pi^-1$)
Ho pensato di costruire $f:A\to C$ nel seguente modo: $\forall (x,y,z)\in A, \ f(x,y,z)=(zx,zy,z)$
$f$ è sicuro continua (perchè lo sono le componenti) ed è surgettiva. Per vedere che è una identificazione, mi basta vedere che è aperta e/o chiusa, ma non so bene come procedere...