[Risolto] Scomposizione di forme quadratiche

Messaggioda Sergio » 18/11/2019, 15:40

Dovrei dimostrare che una forma quadratica \(\mathbf{x}^T\mathbf{Ax}\), con \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\) e \(\mathbf{A}\in M_n(\mathbb{R})\), può essere scomposta nella somma \[\sum_{k=1}^n \frac{|\mathbf{A}_k|}{|\mathbf{A}_{k-1}|}(L_k)^2\]dove \(\mathbf{A}_k\) è la matrice costituita dalle prime \(k\) righe e colonne di \(\mathbf{A}\), \(|\mathbf{A}_0|=1\) e \(L_k\) è una forma lineare nelle variabili \(x_i\), \(k\leqq i\leqq n\).
Ci sono quasi, ma sto riempiendo pagine e pagine e non vorrei produrre poemi per reinventare la ruota.
Esiste una dimostrazione "agile"?
Ultima modifica di Sergio il 21/11/2019, 17:28, modificato 1 volta in totale.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
Avatar utente
Sergio
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6227 di 6269
Iscritto il: 26/04/2004, 10:56
Località: Roma

Re: Scomposizione di forme quadratiche

Messaggioda solaàl » 18/11/2019, 18:03

Cos'è \(|A_k|/|A_{k-1}|\)? Un rapporto di determinanti? Ed \(L_k \in M_n(\mathbb R)\), altrimenti (se ad esempio "forma lineare" significa covettore) non torna il tipo che deve avere...
Avatar utente
solaàl
New Member
New Member
 
Messaggio: 26 di 65
Iscritto il: 31/10/2019, 01:45

Re: Scomposizione di forme quadratiche

Messaggioda Sergio » 18/11/2019, 21:24

solaàl ha scritto:Cos'è \(|A_k|/|A_{k-1}|\)? Un rapporto di determinanti?

Sì.
solaàl ha scritto:Ed \(L_k \in M_n(\mathbb R)\), altrimenti (se ad esempio "forma lineare" significa covettore) non torna il tipo che deve avere...

Per "forma lineare" intendo \(L_k(\mathbf{x})=a_{1k} x_k+a_{1,k+1} x_{k+1}+\cdots+a_{1n} x_n\).
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
Avatar utente
Sergio
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6230 di 6269
Iscritto il: 26/04/2004, 10:56
Località: Roma

Re: Scomposizione di forme quadratiche

Messaggioda solaàl » 18/11/2019, 21:43

Quindi è un covettore... Ma cos'è \(L_k^2\) allora?
Avatar utente
solaàl
New Member
New Member
 
Messaggio: 29 di 65
Iscritto il: 31/10/2019, 01:45

Re: Scomposizione di forme quadratiche

Messaggioda Sergio » 18/11/2019, 23:16

solaàl ha scritto:Quindi è un covettore... Ma cos'è \(L_k^2\) allora?

\(L_k(\mathbf{x})=(a_{1k}x_k+\cdots+a_{1n}x_n)^2\)

Insomma: se prendi una forma quadratica, "isoli" i termini con \(x_i^2\) nel quadrato di una forma lineare e completi il quadrato, ottieni termini di secondo grado che costituiscono una nuova forma quadratica in \((x_2,\dots,x_n)\). Poi procedi su di essa come su quella originaria, ottenendo ancora il quadrato di una forma lineare e una nuova forma quadratica in \((x_3,\dots,x_n)\), ecc.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
Avatar utente
Sergio
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6232 di 6269
Iscritto il: 26/04/2004, 10:56
Località: Roma

Re: Scomposizione di forme quadratiche

Messaggioda dissonance » 19/11/2019, 12:15

Sembra una versione industriale del completamento del quadrato, è interessante. Non credo si possa fare in astratto, ma darei una occhiata qui:

https://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester%27s_criterion
dissonance
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 15788 di 15883
Iscritto il: 24/05/2008, 19:39
Località: Nomade

Re: Scomposizione di forme quadratiche

Messaggioda Sergio » 19/11/2019, 12:26

Provo a spiegarmi meglio.
Se \(Q(x)=ax^2\) è tutto banale: \(\mathbf{A}=a,|\mathbf{A}_1|=a,\mathbf{A}_0=1,Q(x)=\frac{\mathbf{A}_1}{\mathbf{A}_0}(L_1)^2\).
Una matrice simmetrica \(\mathbf{A}\) può essere vista come \(\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & \mathbf{u}^T \\ \mathbf{u} & \mathbf{A}'\end{bmatrix}\). Ponendo \(\mathbf{D}=a_{11}\mathbf{A}'-\mathbf{uu}^T\) (\(\mathbf{D}=a_{11}(\mathbf{A}/a_{11})\), dove \(\mathbf{A}/a_{11}\) è il complemento di Schur di \(a_{11}\) in \(\mathbf{A}\)) si ha:
\[a_{11}\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 0 & \mathbf{0}^T \\ \mathbf{0} & \mathbf{D}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} a_{11} \\ \mathbf{u}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11} & \mathbf{u}^T\end{bmatrix}\]E così:
\[\begin{align*}
Q(x_1,x_2)
&=\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x}
= \frac{1}{a_{11}}(a_{11}x_1+a_{12}x_2)^2
+\frac{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}{a_{11}}x_2^2 \\
&= a_{11}\left(x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}x_2\right)^2+\frac{|\mathbf{A}|}{|a_{11}|}x_2^2
=\frac{|\mathbf{A}_1|}{|\mathbf{A}_0|}(L_1)^2
+\frac{|\mathbf{A}_2|}{|\mathbf{A}_1}(L_2)^2
\end{align*}\]
Inoltre:
\[\begin{align*}
Q(x_1,x_2,x_3)&=\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x}
=\frac{1}{a_{11}}(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3)^2 \\
& +\frac{1}{a_{11}}\begin{bmatrix} x_2 & x_3 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} & a_{11}a_{23}-a_{12}a_{13} \\
a_{11}a_{23}-a_{12}a_{13} & a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \\
&=a_{11}\left(x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}x_2+\frac{a_{13}}{a_{11}}x_3\right)^2\\
&+\frac{1}{a_{11}}\left(\frac{1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}
((a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_2+(a_{11}a_{23}-a_{12}a_{13})x_3)^2
\right) \\
&+\frac{1}{a_{11}}
\frac{(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})(a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31})-(a_{11}a_{23}-a_{12}a_{13})^2}
{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}x_3^2 \\
&=\frac{|\mathbf{A}_1|}{|\mathbf{A}_0|}(L_1)^2+\frac{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}{a_{11}}
\left(x_2+\frac{a_{11}a_{23}-a_{12}a_{13}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}x_3\right)^2 \\
&+\frac{1}{a_{11}}\frac{|\mathbf{A}[1,2|1,2]|\mathbf{A}[1,3|1,3]|-|\mathbf{A}[1,2|1,3]||\mathbf{A}[1,3|1,2]|}{|\mathbf{A}[1,2|1,2]|}~~x_3^2
\end{align*}\]
La notazione \(\mathbf{A}[\text{righe}|\text{colonne}]\) indica una sottomatrice di \(\mathbf{A}\).
I determinanti che compaiono nell'ultimo termine sono gli elementi del complemento di
Schur a \(a_{11}\). Il numeratore è il determinante del complemento, \(|\mathbf{A}/a_{11}|\), che
è uguale a \(|\mathbf{A}|/|a_{11}|\), quindi:
\[\begin{align*}
Q(x_1,x_2,x_3)&=\frac{|\mathbf{A}_1|}{|\mathbf{A}_0|}(L_1)^2+\frac{|\mathbf{A}_2|}{|\mathbf{A}_1|}(L_2)^2+\frac{|\mathbf{A}_3|}{|\mathbf{A}_2}\frac{1}{a_{11}^2}x_3^2\\
&=\frac{|\mathbf{A}_1|}{|\mathbf{A}_0|}(L_1)^2+\frac{|\mathbf{A}_2|}{|\mathbf{A}_1|}(L_2)^2+\frac{|\mathbf{A}_3|}{|\mathbf{A}_2|}(L_3)^2
\end{align*}\]
(ovviamente \(\mathbf{A}_3=\mathbf{A}\)).

Sperando di non essermi impicciato né nella sostanza, né nel laborioso copia-incolla da appunti ancora disordinati, l'idea sarebbe questa.
Ultima modifica di Sergio il 19/11/2019, 18:14, modificato 1 volta in totale.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
Avatar utente
Sergio
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6233 di 6269
Iscritto il: 26/04/2004, 10:56
Località: Roma

Re: Scomposizione di forme quadratiche

Messaggioda Sergio » 19/11/2019, 13:44

dissonance ha scritto:Sembra una versione industriale del completamento del quadrato, è interessante. Non credo si possa fare in astratto, ma darei una occhiata qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester%27s_criterion

Molto attinente, grazie!
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
Avatar utente
Sergio
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6234 di 6269
Iscritto il: 26/04/2004, 10:56
Località: Roma

Re: Scomposizione di forme quadratiche

Messaggioda Sergio » 21/11/2019, 16:55

Trovata soluzione :D
La divido in messaggi diversi sia perché un po' lunghetta, sia perché uso qualche risultato che potrebbe essere forse utile ma poco noto.
Una premessa sulla notazione.
Data una matrice \(\mathbf{A}\) simmetrica di ordine \(n\), indico con \(\mathbf{A}_r\) la sottomatrice che si ottiene selezionando le prime \(r\le n\) righe e colonne di \(\mathbf{A}\), con \(\det\mathbf{A}\) o con \(|\mathbf{A}|\) il determinante, con \(\mathbf{A}^{(1)}\) il complemento di Schur del primo elemento di \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{A}/a_{11}\).
Dato invece un vettore \(\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\), indico con \(\mathbf{x}_s\) il vettore costituito dagli ultimi \(n-s+1\) elementi di \(\mathbf{x}\), ad esempio \(\mathbf{x}_3=(x_3,x_4,\dots,x_n)\).

Lemma (adattato da J. Fernando, J. Ruiz e C. Scheiderer, Sum of Squares of Linear Forms) Data una forma quadratica \(Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x}\), dove \(\mathbf{A}=[a_{ij}]\) è una matrice simmetrica \(n\times n\), se \(a_{11}\ne 0\) si ha: \begin{equation*} \mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x} = \frac{1}{a_{11}}\left(\sum_{i=1}^na_{1i}x_i\right)^2+\mathbf{x}_2^T\mathbf{A}^{(1)}\mathbf{x}_2 \end{equation*} dove \(\mathbf{A}^{(1)}\) è il complemento di Schur di \(a_{11}\) in \(\mathbf{A}\).

Dimostrazione. La matrice \(\mathbf{A}\) può essere vista come una matrice a blocchi:
\[\mathbf{A}=\left[\begin{array}{c|c} a_{11} & \mathbf{u}^T \\ \hline \mathbf{u} & \mathbf{B} \end{array}\right],
\qquad\mathbf{u}=(a_{12},\dots,a_{1n})=(a_{21},\dots,a_{n1}),
\quad\mathbf{B}=\begin{bmatrix} a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{2n} & \dots & a_{nn}
\end{bmatrix}\]Se \(a_{11}\ne 0\), si può porre \(\mathbf{A}^{(1)}=\mathbf{B}-\frac{1}{a_{11}}\mathbf{u}\mathbf{u}^T\) (complemento di Schur di \(a_{11}\)) e giungere a:1
\[\mathbf{A}=
\left[\begin{array}{c|c} 0 & \mathbf{0}^T \\ \hline \mathbf{0} & \mathbf{A}^{(1)} \end{array}\right]
+\frac{1}{a_{11}}\begin{bmatrix} a_{11} \\ \mathbf{u} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a_{11} & \mathbf{u}^T \end{bmatrix}\tag{Q.E.D.}\]

Si ha quindi:\[\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x} = \frac{1}{a_{11}}\left(\sum_{i=1}^na_{1i}x_i\right)^2+\mathbf{x}_2^T\mathbf{A}^{(1)}\mathbf{x}_2\]dove il primo termine contiene il quadrato di una forma lineare, mentre il secondo è ancora una forma quadratica che può essere scomposta in modo analogo.

Note

  1. Fernando, Ruiz e Scheiderer invece del complemento di Schur usano una matrice \(\mathbf{D}=a_{11}\mathbf{A}-\mathbf{uu}^T\).
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
Avatar utente
Sergio
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6237 di 6269
Iscritto il: 26/04/2004, 10:56
Località: Roma

Re: Scomposizione di forme quadratiche

Messaggioda Sergio » 21/11/2019, 17:14

Occorrono un altro lemma e un corollario.

Lemma (R. A. Brualdi e H. Schneider, Determinantal identities: Gauss, Schur, Cauchy, Sylvester, Kronecker, Jacobi, Binet, Laplace, Muir, and Cayley) Data una matrice \(\mathbf{A}=[a_{ij}]\) di ordine \(n\), se \(a_{11}\ne 0\) è definito il complemento di Schur di \(a_{11}\) in \(\mathbf{A}\), indicato con \(\mathbf{A}^{(1)}\), e si ha:
a) il determinante delle prime \(s\) righe e colonne del complemento di Schur di \(a_{11}\) è uguale al rapporto tra il determinante delle prime \(s+1\) righe e colonne di \(\mathbf{A}\) matrice, \(\det\mathbf{A}_{s+1}\), e \(a_{11}\): \(\det \mathbf{A}^{(1)}_s=\det\mathbf{A}_{s+1}/a_{11}\);
b) in particolare, il primo elemento \(a^{(1)}_{11}\) del complemento di Schur di \(a_{11}\) è uguale al rapporto tra il determinante delle prime due righe e colonne di \(\mathbf{A}\), \(\det\mathbf{A}_2\), e \(a_{11}\): \(a^{(1)}_{11}=\det\mathbf{A}_2/a_{11}\).

Dimostrazione. Si può ottenere il complemento di Schur di una sottomatrice \(\mathbf{E}\) non singolare con un'eliminazione di Gauss:
\[\mathbf{A}=\begin{bmatrix} \mathbf{E} & \mathbf{F} \\ \mathbf{G} & \mathbf{H} \end{bmatrix},\quad
\begin{bmatrix} \mathbf{I}_k & \mathbf{0} \\ -\mathbf{G}\mathbf{E}^{-1} & \mathbf{I}_{n-k} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \mathbf{E} & \mathbf{F} \\ \mathbf{G} & \mathbf{H} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} \mathbf{E} & \mathbf{F} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A}^{(1)} \end{bmatrix},\quad
\mathbf{A}^{(1)}=\mathbf{H}-\mathbf{G}\mathbf{E}^{-1}\mathbf{F}\]e si ha (identità di Schur): \(\det{\mathbf{A}}=(\det{\mathbf{E}})(\det{\mathbf{A}^{(1)}})\).
Se \(\mathbf{E}=a_{11}\ne 0\),
\[\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & \mathbf{F} \\ \mathbf{G} & \mathbf{H} \end{bmatrix},\quad
\begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0} \\ -a_{11}^{-1}\mathbf{G} & \mathbf{I}_{n-1} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a_{11} & \mathbf{F} \\ \mathbf{G} & \mathbf{H} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} a_{11} & \mathbf{F} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A}^{(1)} \end{bmatrix},\quad
\mathbf{A}^{(1)}=\mathbf{H}-a_{11}^{-1}\mathbf{G}\mathbf{F}\]con \(\det{\mathbf{A}}=a_{11}(\det{\mathbf{A}^{(1)}})\). Nell'eliminazione di Gauss che porta al complemento di Schur, si sommano combinazioni delle prime \(k\) righe alle restanti \(n-k\) righe, un'operazione che non cambia il determinante. Si ha quindi:
\[\det\begin{bmatrix} a_{11} & \mathbf{F} \\ \mathbf{G} & \mathbf{H} \end{bmatrix} =
\det\begin{bmatrix} a_{11} & \mathbf{F} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A}^{(1)} \end{bmatrix}\]Inoltre, indicando con \(\mathbf{B}\) una sottomatrice costituita dalle prime \(s\) righe e colonne
di \(\mathbf{A}^{(1)}\), \(\mathbf{B}=\mathbf{A}^{(1)}_s\), si ha:
\[\det{\mathbf{A}_{s+1}}
=\det\begin{bmatrix} a_{11} & * \\ \mathbf{0} & \mathbf{B} \end{bmatrix}
=a_{11}(\det{\mathbf{B}}) \tag{Q.E.D.}\]

Corollario. Data una successione $\mathbf{A},\mathbf{A}^{(1)},\mathbf{A}^{(2)},\mathbf{A}^{(3)},...$ in cui $\mathbf{A}$ è una matrice $n\times n$ e i termini successivi sono ciascuno il complemento di Schur del primo elemento della matrice precedente, per $1<r<n$ si ha: \[a^{(r)}_{11}=\frac{\det\mathbf{A}^{(r-1)}_2}{\det\mathbf{A}^{(r-1)}_1}=\frac{\det\mathbf{A}_{r+1}}{\det\mathbf{A}_{r}}\]
Dimostrazione. Per il Lemma di Brualdi e Schneider si ha \(a^{(1)}_{11}=\dfrac{\det\mathbf{A}_2}{\det\mathbf{A}_1}\). Dal Lemma segue anche, per \(r=2\):
\[a^{(2)}_{11}=\dfrac{\det\mathbf{A}^{(1)}_2}{\det\mathbf{A}^{(1)}_1}
= \dfrac{a_{11}(\det\mathbf{A}^{(1)}_2)}{a_{11}(\det\mathbf{A}^{(1)}_1)}
=\dfrac{\det\mathbf{A}_3}{\det\mathbf{A}_2}\]e, in generale per \(r\ge 2\):
\[a^{(r)}_{11}=\frac{\det\mathbf{A}^{(r-1)}_2}{\det\mathbf{A}^{(r-1)}_1}
=\frac{a^{(r-2)}_{11}(\det\mathbf{A}^{(r-1)}_2)}{a^{(r-2)}_{11}(\det\mathbf{A}^{(r-1)}_1)}
=\frac{\det\mathbf{A}^{(r-2)}_3}{\det\mathbf{A}^{(r-2)}_2}\]Ovvero, il primo elemento dell'\(r\)-esimo complemento di Schur è uguale al rapporto tra i minori guida di ordine 2 e 1 dell'\((r-1)\)-complemento. Moltiplicando numeratore e denominatore per il primo elemento dell'\((r-2)\)-esimo complemento, si ottiene il rapporto tra i minori guida di ordine 3 e 2 di questo, aumentano cioè di 1 gli ordini dei minori. Ripetendo per \(r-1\) volte, si ottiene il rapporto tra i minori di ordine \(r+1\) e \(r\) della matrice \(\mathbf{A}\) (Q.E.D).
Ultima modifica di Sergio il 22/11/2019, 07:59, modificato 1 volta in totale.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
Avatar utente
Sergio
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6238 di 6269
Iscritto il: 26/04/2004, 10:56
Località: Roma

Prossimo

Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 12 ospiti