Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda kaspar » 18/11/2019, 17:41

Ho una lineare \(f : V \to V\), dove \(V\) è uno spazio vettoriale su campo \(k\). La domanda del titolo.
\(0\) è autovalore di \(f\) se e solo se esiste almeno un \(v \in V \setminus \{0\}\) tale che \[f(v)=0v=O\] dove \(O\) è il vettore nullo. Vale a dire che \(\ker f\) contiene almeno un vettore non nullo oltre al vettore nullo. Il che equivale a dire che \(f\) non è invertibile. Quindi concludo così: \(0\) è autovalore di \(f\) se e solo se \(f\) non è invertibile. È giusta ed esauriente come risposta ad una domanda aperta?
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Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda Sergio » 18/11/2019, 17:58

Non è iniettiva (non è invertibile anche se suriettiva).
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda solaàl » 18/11/2019, 18:01

Manca il pezzo seguente: \(\ker f \neq 0\) se e solamente se \(f\) non è iniettiva; ma ora una mappa lineare \(f : V \to V\) è iniettiva se e solo se è suriettiva (per la formula delle dimensioni: \(\dim V = \dim \ker f + \dim \text{im } f = K+I\); $K=0$ se e solo se \(I=\dim V\)) quindi se e solo se \(f\) è un isomorfismo.
Ultima modifica di solaàl il 18/11/2019, 19:50, modificato 1 volta in totale.
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Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda kaspar » 18/11/2019, 19:09

Sergio ha scritto:Non è iniettiva (non è invertibile anche se suriettiva).
Ma dato che le dimensioni di dominio e codominio (che coincidono) sono uguali e finite, allora iniettività e suriettività si coimplicano. O no? :-k Oppure ho capito male ciò che vuoi dirmi...
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Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda kaspar » 18/11/2019, 19:44

@solaàl, mi sembra che ci sia qualche "non" di troppo...
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Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda solaàl » 18/11/2019, 19:50

No, cera un uguale invece che un diverso...
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Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda Sergio » 18/11/2019, 21:06

kaspar ha scritto:
Sergio ha scritto:Non è iniettiva (non è invertibile anche se suriettiva).
Ma dato che le dimensioni di dominio e codominio (che coincidono) sono uguali e finite, allora iniettività e suriettività si coimplicano. O no? :-k Oppure ho capito male ciò che vuoi dirmi...

Per carità, solo punti di vista. Per me "autovalore nullo = non iniettiva" è automatico :)
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda Bokonon » 18/11/2019, 22:06

kaspar ha scritto:Vale a dire che \(\ker f\) contiene almeno un vettore non nullo oltre al vettore nullo.

Ma questo è ciò che dobbiamo dimostrare...insieme al fatto che un vettore di $Ker(f)$ è collegato all'autovalore 0.

Io userei le definizioni e partirei con due casi.
a) $dim[Ker(f)]=0 rArr f(v)=0$ se e solo se $v=O$
Ma se v fosse un autovettore, allora $f(v)=lambdav=lambdaO=O$
Il vettore nullo non è un autovettore per definizione e anche se lo fosse sarebbe collegato a qualsiasi $lambdainRR$. Un'assurdità.
b) $dim[Ker(f)]>0 rArr EE v!=O$ tale che $f(v)=O$
Per definizione v è un autovettore se $f(v)=O=lambdav$
Per cui dalle assunzioni fatte $lambda=0$
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Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda kaspar » 18/11/2019, 22:28

Non ho capito la tua obiezione onestamente, scusami. La definizione che a lezione mi è stata data è questa: uno scalare \(\lambda \in k\) è autovalore di \(f : V \to V\) quando esiste un \(v \in V\) non nullo per cui \(f(v)=\lambda v\). Magari è la definizione che è leggermente diversa... :-k Credo di non aver fatto altro che usare biecamente la definizione.
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Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda Bokonon » 18/11/2019, 23:09

La domanda è quando 0 è un autovalore di f?
Tu hai risposto alla domanda dimostrare che se 0 è un autovalore di f, allora $dim[ker(f)]>0$
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