Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda kaspar » 18/11/2019, 17:41

Ho una lineare \(f : V \to V\), dove \(V\) è uno spazio vettoriale su campo \(k\). La domanda del titolo.
\(0\) è autovalore di \(f\) se e solo se esiste almeno un \(v \in V \setminus \{0\}\) tale che \[f(v)=0v=O\] dove \(O\) è il vettore nullo. Vale a dire che \(\ker f\) contiene almeno un vettore non nullo oltre al vettore nullo. Il che equivale a dire che \(f\) non è invertibile. Quindi concludo così: \(0\) è autovalore di \(f\) se e solo se \(f\) non è invertibile. È giusta ed esauriente come risposta ad una domanda aperta?
kaspar
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 11 di 495
Iscritto il: 17/11/2019, 09:58

Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda solaàl » 18/11/2019, 18:01

Manca il pezzo seguente: \(\ker f \neq 0\) se e solamente se \(f\) non è iniettiva; ma ora una mappa lineare \(f : V \to V\) è iniettiva se e solo se è suriettiva (per la formula delle dimensioni: \(\dim V = \dim \ker f + \dim \text{im } f = K+I\); $K=0$ se e solo se \(I=\dim V\)) quindi se e solo se \(f\) è un isomorfismo.
Ultima modifica di solaàl il 18/11/2019, 19:50, modificato 1 volta in totale.
"In verità le cose che nella vita sono tenute in gran conto si riducono a vanità, o putredine di nessun valore; botoli che si addentano, bambocci litigiosi che ora ridono, poi tosto piangono." (Lotario conte di Segni)
Avatar utente
solaàl
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 25 di 1672
Iscritto il: 31/10/2019, 01:45

Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda kaspar » 18/11/2019, 19:09

Sergio ha scritto:Non è iniettiva (non è invertibile anche se suriettiva).
Ma dato che le dimensioni di dominio e codominio (che coincidono) sono uguali e finite, allora iniettività e suriettività si coimplicano. O no? :-k Oppure ho capito male ciò che vuoi dirmi...
kaspar
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 13 di 495
Iscritto il: 17/11/2019, 09:58

Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda kaspar » 18/11/2019, 19:44

@solaàl, mi sembra che ci sia qualche "non" di troppo...
kaspar
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 14 di 495
Iscritto il: 17/11/2019, 09:58

Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda solaàl » 18/11/2019, 19:50

No, cera un uguale invece che un diverso...
"In verità le cose che nella vita sono tenute in gran conto si riducono a vanità, o putredine di nessun valore; botoli che si addentano, bambocci litigiosi che ora ridono, poi tosto piangono." (Lotario conte di Segni)
Avatar utente
solaàl
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 28 di 1672
Iscritto il: 31/10/2019, 01:45

Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda Bokonon » 18/11/2019, 22:06

kaspar ha scritto:Vale a dire che \(\ker f\) contiene almeno un vettore non nullo oltre al vettore nullo.

Ma questo è ciò che dobbiamo dimostrare...insieme al fatto che un vettore di $Ker(f)$ è collegato all'autovalore 0.

Io userei le definizioni e partirei con due casi.
a) $dim[Ker(f)]=0 rArr f(v)=0$ se e solo se $v=O$
Ma se v fosse un autovettore, allora $f(v)=lambdav=lambdaO=O$
Il vettore nullo non è un autovettore per definizione e anche se lo fosse sarebbe collegato a qualsiasi $lambdainRR$. Un'assurdità.
b) $dim[Ker(f)]>0 rArr EE v!=O$ tale che $f(v)=O$
Per definizione v è un autovettore se $f(v)=O=lambdav$
Per cui dalle assunzioni fatte $lambda=0$
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 1767 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda kaspar » 18/11/2019, 22:28

Non ho capito la tua obiezione onestamente, scusami. La definizione che a lezione mi è stata data è questa: uno scalare \(\lambda \in k\) è autovalore di \(f : V \to V\) quando esiste un \(v \in V\) non nullo per cui \(f(v)=\lambda v\). Magari è la definizione che è leggermente diversa... :-k Credo di non aver fatto altro che usare biecamente la definizione.
kaspar
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 15 di 495
Iscritto il: 17/11/2019, 09:58

Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda Bokonon » 18/11/2019, 23:09

La domanda è quando 0 è un autovalore di f?
Tu hai risposto alla domanda dimostrare che se 0 è un autovalore di f, allora $dim[ker(f)]>0$
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 1768 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

Messaggioda Indrjo Dedej » 18/11/2019, 23:14

In realtà ci sarebbero dei "se e solo se" in giro... Quindi ti avrebbe dimostrato pure l'inverso.
Indrjo Dedej
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 790 di 1649
Iscritto il: 31/05/2016, 19:58


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite