Siano \( G \) un gruppo e \(X,Y \) due \(G\)-insiemi. Consideriamo l'insieme \(F(X,Y ) \) delle applicazioni \(f: X \to Y \) e definiamo un azione
\[ G \times F(X,Y) \to F(X,Y),\ (g,f)\mapsto g \star f \]
Dove \( (g \star f)(x)= g \cdot f(g^{-1} \cdot x ) \) per tutti i \( g \in G \) e \( f \in F(X,Y) \) e \( x \in X \).
a) Dimostra che definisce bene un azione del gruppo \( G \) su \(F(X,Y) \).
b) Un applicazione è detta \(G\)-equivariante se \(f(g \cdot x)=g \cdot f(x) \) per tutti gli \(g \in G \) e \(x \in X \). Dimostra che l'insieme dei punti fissi \(F(X,Y)^G \) è l'insieme di tutte le applicazioni \(G\)-equivarianti da \(X \) verso \(Y \).
c) Poniamo \(X=Y=\mathbb{R} \) consideriamo l'azione di \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) su \( \mathbb{R} \) tale che \( 1 \cdot x= -x \) per tutti gli \(x \in \mathbb{R} \). Cos'è un applicazione \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \)-equivariante da \( \mathbb{R} \) a \(\mathbb{R} \).
Per a) mi dice che è chiaro che \( e \star f= f \). La mia domanda è questo è vero poiché \( e \cdot f(e \cdot x) = e \cdot f(x) = f(x) \).
Dove la prima uguaglianza abbiamo utilizzato il fatto che \( G \) agisce su \(X \) tramite l'azione \( (g,x) \mapsto g \cdot x \) e per la seconda uguaglianza abbiamo utilizzato il fatto che \( G \) agisce su \(Y \) tramite l'azione \( (g,f(x)) \mapsto g \cdot f(x) \)?
E siccome sono azioni allora \( e \cdot x= x \) ed \( e \cdot f(x) = f(x) \)?
Altrimenti non so dare un senso a questa scrittura \( g \cdot x \).
Non sarebbe più corretto dare un nome diverso all'azione di \(G \) su \(X \) e su \(Y \), ad esempio
\( (g \star f)(x) = g \ast f(g^{-1} \cdot x) \) ?
Se \( X \) oppure \( Y \) non sono \( G \) insiemi insomma non ha senso quella scrittura vero?
Per il c) le correzioni mi dicono che per tutti gli \( x \in \mathbb{R} \) abbiamo che \( f(-x)=f(1 \cdot x)= 1 \cdot f(x) = - f(x) \). E quindi sono le applicazioni dispari.
Ma dal punto b) abbiamo che dovrebbe essere le funzioni che sono dei punti fissi pertanto tutte \( f \in F(\mathbb{R},\mathbb{R})^{\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}} \) e dunque \( g \star f = f \) per tutti \( g \in \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \).
Abbiamo chiaramente che \( (1 \star f)(x) =1 \cdot f(1 \cdot x) = - f(-x) = f(x) \) se \( f \) dispari.
Ma secondo me ha dimenticato anche le funzioni pari, presumo che \( 0 \cdot x= x \) per tutti gli \( x \in \mathbb{R} \) e abbiamo che
\( (0 \star f)(x) =0 \cdot f(0 \cdot x) = f(x) \).
Dunque le funzioni \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \)-equivariante da \( \mathbb{R} \) a \(\mathbb{R} \) sono tutte le funzioni dispari e tutte le funzioni pari, sbaglio?
Edit:
Sbaglio sul fatto che \( f(x)=f(x) \) è pari
Però non capisco perché non considera lo \( 0 \in \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \)
Cioé ho che \(f(x)= f( 0 \cdot x) = 0 \cdot f(x) = f(x) \) pertanto tutte le funzioni sono \(\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \)-equivarianti
