Riguardando un vecchio esercizio mi è venuto un dubbio sulla parola: "simultaneamente"
Considera \( (\mathbb{N}, \tau_C) \) dove \( \tau_C \) è la topologia cofinita di \( \mathbb{N} \). Trova una successione \( x_n \) che converge simultaneamente ad ogni \( n \in \mathbb{N} \).
Io avevo trovato mi pare, \( (x_k)_{k \in \mathbb{N}} \) dove \( x_k=k \) per tutti i \(k \in \mathbb{N} \).
Chiaramente \( \forall n \in \mathbb{N} \) e per ogni \( U_n \in \tau_C \) tale che \( n \in U_n \), sappiamo che \( \mathbb{N} \setminus U_n \) è finito, dunque prendendo \( M_{U_n} := \max \mathbb{N} \setminus U_n \) abbiamo che per tutti gli \( i > M_{U_n} \) risulta che \( x_{i} \in U_{n} \). E dunque la successione \( (x_k)_{k \in \mathbb{N} } \) converge ad ogni \( n \in \mathbb{N} \).
Però cosa intende dire simultaneamente??