Ogni bandiera massimale di uno spazio vettoriale ha lunghezza pari alla dimensione dello spazio; assioma della scelta

[marco2132k]

Ciao. Sia \( L \) uno spazio vettoriale. Chiamo bandiera in uno spazio vettoriale \( L \) una sua filtrazione. Dico una bandiera \( \left\{L_i\right\}_{i\in I} \) massimale se 1) \( \bigwedge_{i\in I}L_i \) è il sottospazio banale ed è effettivamente il minimo della bandiera; 2) l'unione \( \bigcup_{i\in I}L_i \) è l'intero spazio; 3) ogni \( L_i \) è massimale in \( \mathcal S\setminus\left\{L_j\right\}_{j>i} \), dove \( \mathcal S \) denota il poset dei sottospazi di \( L \)¹.

Una bandiera massimale... perché è massimale? È vero che una bandiera massimale \( \left\{L_i\right\}_{i\in I} \) è massimale come oggetto del poset \( \operatorname P\mathcal S \), e viceversa?

Voglio provare che la lunghezza di una bandiera massimale \( \left\{L_i\right\}_{i\in I} \) in uno spazio vettoriale \( L \) - i.e., la cardinalità di \( I \) - equa la dimensione dello spazio.
Dimostrazione. Se ammettiamo che \( L_0\subset L_1\subset\dots \) sia una bandiera massimale "nel senso quello semplice", e scegliamo un vettore \( e_i \) da ogni \( L_i\setminus L_{i - 1} \), per ogni \( i\leqq 1 \), l'insieme \( \left\{e_j\right\}_{j = 1}^n \) è una base di \( L_i \). Questo perché 1) il vettore \( e_1 \) è necessariamente non nullo e, assunto che \( \left\{e_j\right\}_{j = 1}^n \) sia linearmente indipendente, anche \( \left\{e_j\right\}_{j = 1}^n\cup\left\{e_{i + 1}\right\} \) lo è (ammettere il contrario porterebbe ad un assurdo, perché gli \( e_j \), per \( j\leqq i \), sono tutti contenuti nel sottospazio \( L_i \), e \( e_{i + 1} \) non lo è); 2) lo span \( \langle e_j\rangle_{j\leqq i} \) è esattamente il sottospazio \( L_i \) (segue per induzione dalla condizione di massimalità). Possiamo affermare che la bandiera \( \left\{L_i\right\}_{i} \) è esattamente l'insieme \( \left\{\langle e_j\rangle_{j\leqq i}\right\}_{i} \), e allora l'ultima richiesta per la condizione di massimalità assicura che \( \bigcup_{i}L_i = \bigcup_{i}\langle e_j\rangle_{j\leqq i} = L \). Da qui in poi, conviene spezzare i due casi dove 1) la bandiera ha lunghezza finita; 2) no. La dimostrazione è banalmente conclusa in 1). Se 2), allora esistono in \( L \) insiemi linearmente indipendenti per ogni \( m\in\mathbb N \). La tesi segue dal lemma di Zorn. \( \square \)

La seconda applicazione di AC è inevitabile, ma la prima? Serve per forza l'assioma della scelta per dimostrare la cosa in spazi di dimensione finita?

E, in ogni caso, come potrei fare la dimostrazione - per spazi infinito dimenisonali - con "l'altra" definizione di bandiera massimale? Devo usare qualcosa che abbia a che fare con l'induzione transfinita per costruire la famiglia degli \( \left\{e_j\right\} \)?

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Note

1. In realtà la definizione che conosco è diversa. (Vale per famiglie numerabili di sottospazi). È la seguente: la bandiera \( L_0\subset L_1\subset\dots \) è massiamale se 1) \( L_0 = 0 \); 2) \( \bigcup_{i = 1}^nL_i = L \); 3) se per un \( M\leqq L \) è \( L_i\subset M\subset L_{i + 1} \), allora \( M = L_i \) oppure \( M = L_{i + 1} \). ↑

[j18eos]

Veramente nel caso finito, puoi evocare il teorema della scelta finita, e concludi senza troppe paturnie!

Ti è chiaro?

[marco2132k]

E c'hai ragione! Mi ha mandato in vacca il fatto di prendere dei vettori \( e_i \) dai complementari (che finiti non sono) \( L_i\setminus L_{i - 1} \), ma l'unica cosa di cui ho bisogno è che il prodotto \( \prod_{i = 1}L_i\setminus L_{i - i} \) sia non-vuoto. E certo che lo è, se \( L \) la bandiera ha lunghezza finita... grazie!