02/12/2019, 16:17
02/12/2019, 16:42
a matrix with \(m\) rows and \(n\) columns is a function \([m]\times [n]\to K\), where \([k] = \{1,\dots, k\}\) for every \(k\in \mathbb N\). Since for every vector space \(V\) and every set \(A\) the set of functions \(A\to V\) is a vector space, the set \(M_{n,m}(K)\) of functions \([m]\times [n]\to K\) becomes a vector space in a natural way. Sum and scalar product are defined pointwise: \(aA : (i,j)\mapsto aA_{ij}\) for every \(a\in K\) and \((A+B)(i,j) = A_{ij}+B_{ij}\).
Now for the definition of matrix product.
Let \(m,n,t\ge 1\) integers. Let \(A\in M_{m,n}(K)\) and \(B\in M_{n,t}(K)\) be two matrices; we define the auxiliary map \(\varsigma : K^n \to K : v\mapsto \sum v_i\), and the composition
\[
\odot(A,B) : [m]\times [n] \times [t] \xrightarrow{[m]\times\Delta_{[n]}\times [t]} [m]\times [n]\times [n]\times [t] \xrightarrow{A\times B} K\times K \xrightarrow{\cdot} K\]
that sends \((i,j,k)\in [m]\times [n] \times [t]\) into \(A_{ij}\cdot B_{jk} = A(i,j)\cdot B(j,k)\in K\) (\(\Delta_{[n]} : [n] \to [n]\times [n]\) is the "diagonal" map that duplicates a coordinate, \(\Delta(i)=(i,i)\)); the map \((A\times B)\circ (\text{id}_{[m]}\times \Delta_{[n]}\times \text{id}_{[t]})\) transposes ("uncurries") to a map \[\odot(A,B)^\star : [m]\times [t] \to K^{[n]} = K^n,\] and we can thus define the matrix product of \(A\) and \(B\) as the composition \(\cdot\) (read `dot')
\[ \cdot = \varsigma \circ \odot(A,B)^\star : (i,k)\mapsto \sum_{j\in[n]} A_{ij}B_{jk}. \] Corollary: the vector space of matrices \(M_{n,n}(K)\) becomes a \(K\)-algebra, i.e. a vector space endowed with a bilinear multiplication operation.
02/12/2019, 21:53
marco2132k ha scritto:E - soprattutto - ha senso 'sta cosa? ha senso dare una definizione in questo modo? Secondo me sì: stiamo dicendo che esiste un unico oggetto tale da soddisfare alle proprietà "questo" e "quello", ecc..., e ponendo \( Ax \) uguale a quella cosa.
03/12/2019, 13:54
domandavo se avesse senso definire un'operazione in quel modo, non se fosse utile nella pratica un approccio del genere. Chi mi dice che la matrice \( Ax \), come l'ho data io, non dipenda proprio dalla scelta degli spazi \( N \) ed \( M \) che compaiono nella definizione? E chi mi dice, poi, che non sia dipendente dalle basi scelte? Certo, posso verificarlo; ma la cosa mi sembrava un po' lunga, e, piuttosto che farmi la verifica, ho chiestoE - soprattutto - ha senso 'sta cosa? ha senso dare una definizione in questo modo? Secondo me sì: stiamo dicendo che esiste un unico oggetto tale da soddisfare alle proprietà "questo" e "quello", ecc..., e ponendo Ax uguale a quella cosa.
Quello che ho sentito intendere con questa parola: parlare di operazioni su matrici (tipo questo prodotto, o il determinante, o boh) per mezzo di spazi lineari "astratti".Cosa intendi per "concettuale"?
04/12/2019, 18:40
04/12/2019, 18:54
Me la sono inventata scrivendo delle note di algebra lineare tempo fa, dimmi cosa non è chiaroCi sono alcune notazioni che non mi sono chiare. Se ti va di segnalarmi il posto da dove hai preso quell'estratto fai pure (però leggerò con calma, tra un po').
05/12/2019, 20:14
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