(Ben) definizione "concettuale" del prodotto di matrici
Inviato: 02/12/2019, 16:17
\( \newcommand{\Mat}{\operatorname{M}} \)\( \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \)Ciao. Devo capire una cosa sulla definizione del prodotto di matrici, riprendendo una cosa che il prof. ha fatto in classe e che non mi è stata molto chiara.
Voglio definire il prodotto di matrici \( \Mat_{m\times n}(K)\times\Mat_{n\times 1}(K)\to\Mat_{m\times 1}(K) \). Dati due \( K \)-spazi vettoriali \( N \) ed \( M \), di dimensione \( n \), \( m \) e basi \( \left\{e_k\right\}_{1\leqq k\leqq n} \), \( \left\{e^\prime_i\right\}_{1\leqq i\leqq m} \) rispettivamente, mappo la matrice \( A\in\Mat_{m\times n}(K) \) e il vettore colonna \( x\in\Mat_{n\times 1}(K) \) con il vettore colonna \( y \) di \( \Mat_{m\times 1}(K) \) per
\[
(A,x)\mapsto Ax := \varphi_M\circ f\circ\varphi_N^{-1}(x)
\] dove \( \varphi_N \), \( \varphi_M \) sono gli isomorfismi \( N\to K^n \), \( M\to K^m \) nelle basi suddette, e \( f \) è l'applicazione lineare associata \( f = \alpha_{\left\{e_k\right\},\left\{e^\prime_i\right\}}^{-1}(A) \). Ho dato un nome all'isomorfismo \( \Hom_K(N,M)\to\Mat_{m\times n}(K) \), in caso servisse ancora.
Devo ovviamente far vedere che la matrice colonna \( \varphi_M\circ f\circ\varphi_N^{-1}(x) \) è indipendente dalla scelta degli spazi, e poi delle basi. Come faccio?1 E - soprattutto - ha senso 'sta cosa? ha senso dare una definizione in questo modo? Secondo me sì: stiamo dicendo che esiste un unico oggetto tale da soddisfare alle proprietà "questo" e "quello", ecc..., e ponendo \( Ax \) uguale a quella cosa.
Infine come do la definizione del prodotto \( \Mat_{l\times m}(K)\times\Mat_{m\times n}(K)\to\Mat_{l\times n}(K) \) in modo "concettuale"? (un hint va bene, anche se un'idea ce l'ho).
Voglio definire il prodotto di matrici \( \Mat_{m\times n}(K)\times\Mat_{n\times 1}(K)\to\Mat_{m\times 1}(K) \). Dati due \( K \)-spazi vettoriali \( N \) ed \( M \), di dimensione \( n \), \( m \) e basi \( \left\{e_k\right\}_{1\leqq k\leqq n} \), \( \left\{e^\prime_i\right\}_{1\leqq i\leqq m} \) rispettivamente, mappo la matrice \( A\in\Mat_{m\times n}(K) \) e il vettore colonna \( x\in\Mat_{n\times 1}(K) \) con il vettore colonna \( y \) di \( \Mat_{m\times 1}(K) \) per
\[
(A,x)\mapsto Ax := \varphi_M\circ f\circ\varphi_N^{-1}(x)
\] dove \( \varphi_N \), \( \varphi_M \) sono gli isomorfismi \( N\to K^n \), \( M\to K^m \) nelle basi suddette, e \( f \) è l'applicazione lineare associata \( f = \alpha_{\left\{e_k\right\},\left\{e^\prime_i\right\}}^{-1}(A) \). Ho dato un nome all'isomorfismo \( \Hom_K(N,M)\to\Mat_{m\times n}(K) \), in caso servisse ancora.
Devo ovviamente far vedere che la matrice colonna \( \varphi_M\circ f\circ\varphi_N^{-1}(x) \) è indipendente dalla scelta degli spazi, e poi delle basi. Come faccio?1 E - soprattutto - ha senso 'sta cosa? ha senso dare una definizione in questo modo? Secondo me sì: stiamo dicendo che esiste un unico oggetto tale da soddisfare alle proprietà "questo" e "quello", ecc..., e ponendo \( Ax \) uguale a quella cosa.
Infine come do la definizione del prodotto \( \Mat_{l\times m}(K)\times\Mat_{m\times n}(K)\to\Mat_{l\times n}(K) \) in modo "concettuale"? (un hint va bene, anche se un'idea ce l'ho).
- Che si legge: devo davvero considerare due coppie di spazi vettoriali di dimensione \( n \) ed \( m \) rispettivamente, e considerare due basi in ciascuno, e [...]? ↑