Re: Determinante di \(A+\alpha I\)
Inviato: 05/12/2019, 10:50
Ciao Sergio
In che senso $S_(n-i)$ è la somma dei minori?
In che senso $S_(n-i)$ è la somma dei minori?
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Sergio ha scritto:Pare che \(\det(\mathbf{A}+\alpha\mathbf{I})=\alpha^n+\sum_{i=0}^{n-1}\alpha^i\mathbf{S}_{n-i}\), dove \(\mathbf{A}\) è una matrice quadrata di ordine \(n\), \(\mathbf{I}\) è una matrice identità anch'essa ovviamente di ordine \(n\), \(\alpha\) un numero reale, mentre \(\mathbf{S}_{n-i}\) è la somma di tutti i minori principali di \(\mathbf{A}\) di ordine \(n-i\).
Francamente mi giunge nuova...
Prima che mi impazzisco, qualcuno sa dove potrei trovare una dimostrazione?
alessio76 ha scritto:Sergio ha scritto:Pare che \(\det(\mathbf{A}+\alpha\mathbf{I})=\alpha^n+\sum_{i=0}^{n-1}\alpha^i\mathbf{S}_{n-i}\), dove \(\mathbf{A}\) è una matrice quadrata di ordine \(n\), \(\mathbf{I}\) è una matrice identità anch'essa ovviamente di ordine \(n\), \(\alpha\) un numero reale, mentre \(\mathbf{S}_{n-i}\) è la somma di tutti i minori principali di \(\mathbf{A}\) di ordine \(n-i\).
Francamente mi giunge nuova...
Prima che mi impazzisco, qualcuno sa dove potrei trovare una dimostrazione?
Ciao,
per capirci qualcosa partirei dal fatto che i coefficienti del polinomio caratteristico (a meno del segno) sono le tracce delle potenze esterne dell'endomorfismo (associato alla matrice quadrata), vedi per esempio
https://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
queste sono legate ai minori (con gli indici giusti) una volta che scrivi la rappresentazione in coordinate della potenze esterne...è un po' noioso (non ho fatto i conti per controllare...)
solaàl ha scritto:Ma non è ovvio quindi? Cosa manca alla dimostrazione?
mat[n_] := Array[Subscript[a, ##] &, {n, n}]
ess[A_] := Table[Tr[Minors[A, i]], {i, Length[A], 1, -1}]
dets[A_] := CoefficientList[Det[A + t IdentityMatrix[Length[A]]], t]
test[A_] := dets[A] - Join[ess[A], {1}] // Simplify
In[41]:= Table[test[mat[i]], {i, 1, 8}]
Out[41]= {{0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0,
0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0}}