\( \newcommand{\pt}[3]{\Bigl(\begin{smallmatrix}#1\\#2\\#3\end{smallmatrix}\Bigr)} \)Ciao.
Trovare tutte le basi di \( \mathbb Q^3 \) contenute in \( E = \left\{\pt{2}{-3}{0},\pt{1}{-2}{1},\pt{1}{1}{0},\pt{0}{-1}{4}\right\}\subset\mathbb Q^3 \), dove \( \mathbb Q^3 \) è un \( \mathbb Q \)-spazio vettoriale.
Trovare
una base è banale: dato un qualsiasi sottoinsieme finito \( E \) di uno spazio vettoriale, se esso contiene almeno un vettore non nullo \( l_1 \), l'insieme \( E^\prime = \{l_1\} \) può essere portato ad un sottoinsieme massimale che ha per span lo stesso spazio generato da \( E \). Nel caso in questione, scelgo come mio vettore non nullo preferito \( \pt110 \), e vedo che
I. \( \pt2{-3}0 \) e \( \pt110 \) non sono proporzionali, i.e., \( E^{\prime\prime} = E^\prime\cup\left\{\pt2{-3}{0}\right\} \) è linearmente indipendente;
II. \( \pt0{-1}4 \) non è combinazione lineare di \( \pt2{-3}0 \) e \( \pt110 \);
allora, dato che ho tre vettori di \( \mathbb Q^3 \) linearmente indipendenti, questi devono generarlo.
Il prof. scrive, invece, un generico vettore \( \pt abc \) di \( \mathbb Q^3 \) come combinazione lineare dei vettori dati, e verifica che questi effettivamente generano tutto lo spazio. In base a che cosa afferma che "tutte le basi estratte dai vettori dati si ottengono aggiungendo al vettore \( \pt110 \) due tra i tre vettori che compaiono nella relazione di dipendenza lineare
1"?
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Tra l'altro, io ho scelto il vettore \( \pt110 \) come vettore da cui partire per costruire una base perché ho definito all'inizio del post una macro
- Codice:
\newcommand{\pt}[3]{\Bigl(\begin{smallmatrix}#1\\#2\\#3\end{smallmatrix}\Bigl)}
e scrivere
- Codice:
\pt110
costa meno fatica rispetto a digitare
- Codice:
\pt2{-3}0
Perché lui è partito da quello?