Isomorfismo

Ho questo problema:
Sia V = R2[x] × R2[x]. Trovare tutti gli n per cui V è isomorfo a Rn[x].

La dimensione di V dovrebbe essere 9 perche R2[x] ha cardinalità 3, quindi 3x3 = 9.
Due spazi vettoriali sono isomorfi se hanno la stessa dimensione, quindi V è isomorfo a Rn[x] se n = 8??

Mi sembra giusto

Mi sembra giusto

Ma anche no…

Da quando in qua esistono solo tre polinomi in $RR_2[X]$?

$ 1,x, x^2.... No $!?!

Scusate ma non valeva che $\dim(V \times W)=\dim V+\dim W$?
In tal caso:
\[\dim (\mathbb{R}_2[x] \times \mathbb{R}_2[x])=\dim(\mathbb{R}_2[x])+\dim(\mathbb{R}_2[x])=3+3=6\]
Ricordo che la dimensione di uno spazio vettoriale è la cardinalità di una qualsiasi sua base, non il numero di vettori che contiene.
In questo caso $\mathbb{R}_2[x]$ (come già detto) ha base canonica $\{1,x,x^2\}$ contenente 3 elementi appunto.

$ 1,x, x^2.... No $!?!

Che sono notoriamente gli unici tre polinomi in $RR_2[X]$, eh?

Cfr.:

R2[x] ha cardinalità 3

Hai ragione, ho guardato male (3x3 era 3+3)

Ultima modifica di Gabrio il 14/12/2019, 23:52, modificato 1 volta in totale.

Se non leggi…