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Buongiorno,
Ho la seguente proposizione
L'intersezione di una famiglia di sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale $V(K)$ è un sottospazio

Quindi se prendo $RR^n:=V(K)$ e considero i sottospazi $RR^2$ e $RR^3$ la loro intersezione è un sottospazio.

Ora come posso determinare la forma di tale sottospazio..... dovrei determinare la base dell'intersezione ?

Ciao

Ottimo, grazie x la risposta.

Cioè la proposizione dice : una famiglia di sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale, quindi posso prendere una qualsiasi coppia di sottospazi di un dato spazio vettoriale, cioè cosi la interpreto

Quindi se considero lo spazio vettoriale $RR^4$, i suoi sottospazi sono $RR^2$ e $RR^3$ ?

Sergio ha scritto:a) Sono ancora appesantito dal pranzo e connetto poco.

Ci vuole un digestivo....

Perfetto, ho capito il mio errore....grazie mille !!

Buongiorno Sergio, scusami se riprendo di nuovo, ma faccio un esempio per verificare se ho capito.

Considero lo spazio vettoriale $RR^3$ e due piani nello spazio cioè il piano $xy$ e il piano $yz$.
Procedo cosi :
Equazione del piano nello spazio
1) piano $xy$ ha equazione $ax+by+d=0$
2) piano $yz$ ha equazione $by+cz+d=0$

I seguenti sottoinsiemi sono sottospazi di $RR^3$ dove $a,b,c,d in RR$.
Se fin quì va tutto bene, devo fare l'intersezione $ H_1 cap H_2 $, quindi
a) determino le basi dei sottospazi
b) determino il vettore $w$ dell'intersezione

ora mi fermo perchè non lo so se quello che ho scritto fino adesso è corretto...

Grazie

Il piano xy è $z=0$
Il piano yz è $x=0$

Inoltre i piani che hai scritto non passano per l'origine quindi non sono spazi vettoriali ma affini.

Ciao,
non sono molto pratico con la geometria analitica, la sto imparando man man che mi serve, quindi ti chiedo di capirmi se faccio domande banali, detto questo, quando dici il piano $xy$ è $z=0$ cosa si intende ??

Io quello che so' è l'equazione del piano nello spazio quindi, quando dici il piano $xy$ intendi il generico piano cartesiano formato dall'asse x e dall'asse y ortogonali tra di loro ?

Pasquale 90 ha scritto:quando dici il piano $xy$ è $z=0$ cosa si intende ??

Si intende un foglio in cui metti i classici assi X e Y e poi prendi una penna e la metti in piedi sul punto dell'origine (il tuo asse Z). In 3D il piano XY è quando la z=0 e lasci variare le altre due coordinate.

Se invece scrivi $z=2$ hai un piano parallelo al piano XY ma traslato verso l'alto di due tacche lungo l'asse Z.
$z=0$ è un sottospazio vettoriale, $z=2$ no, perchè non contiene l'origine.

Pasquale 90 ha scritto:quando dici il piano $xy$ è $z=0$ cosa si intende ??

Immagina che $ ( ( x ),( y ),( z ) ) in R^3 $ siano le coordinate di un punto nello spazio. Qual è la condizione necessaria e sufficiente affinché questo vettore appartenga al piano $ xy $? $ x $ e $ y $ sono libere di assumere i valori che vogliono mentre $ z $ deve essere necessariamente uguale a 0. Diventa chiaro a questo punto che l'equazione cartesiana per descrivere un piano siffatto è $ z=0 $
Prendiamo la prima delle tue equazioni:
$ ax+by+d=0 $
questa equazione non descrive il piano $ xy $; infatti $ z $ non ha alcun vincolo e può assumere qualsiasi valore, quindi le coordinate dei punti descritti da questa equazione saranno $( ( x ),( -a/bx-d/b ),( z ) ) $.
Graficamente il piano rappresentato da questi punti è quello che interseca la retta $ y = -a/bx-d/b $ parallelo all'asse $ z $

Perfetto ho capito, grazie mille
Non mi facevo capace del fatto che il piano $xy$ abbia equazione $z=0$, ma le costanti del vettore normale $n(a,b,c)$ quando risultanto $a=b=0$, il piano è parallelo simultaneamente agli assi $x,y$ quindi al piano $xy$.
Quindi sostituendo tali costanti nell'equazione del piano cartesiano si ottiene l'equazione del piano $xy$, ossia $z=0$
Quindi riformulando per cui un vettore $alpha in H_1 cap H_2$ deve essere tale $alpha in H_1$ e $alpha in H_2$ cioè


??

Esattamente. Anche graficamente è chiaro i due piani si intersecano solo lungo l'asse y.
Da notare che quando abbiamo degli spazi vettoriali descritti da sistemi di equazioni cartesiane (in questo caso l'equazione è singola) risulta particolarmente facile trovare l'intersezione, infatti quest'ultima può essere a trovata mettendo a sistema tutte le equazioni. In questo caso:
$ H_1 nn H_2 : { ( z=0 ),( x=0 ):} $