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Grazie a tutti per le risposte. Se non vi dispiace scrivo un breve riassunto di quello che ho capito per mettere un po' in ordine le idee dato che mi sento un po' confuso:
1)La dimostrazione è sbagliata perché $A$ non è un intorno, per non parlare di un linguaggio non chiaro
2)In generale non è necessaria una relazione tra ordine e topologia, in questo caso si può generalizzare come propone jinsang
3)Se voglio invece mantenere una nozione di ordine devo fare come ha detto solaal oppure ji18eos
4) In questo secondo caso ci si pone il problema se sia davvero necessaria la condizione che $x_0$ sia un punto di accumulazione per $Z$, ma a questo punto non è più chiaro cosa significhi che $x->x_0$
Il breve riassunto è corretto?
Ora devo solo ragionare sui dilemmi posti da ji18eos e sulle dimostrazioni di jinsang e poi provare a riscrivere in modo chiaro.

Ho provato a ragionarci, ma non riesco a capire benissimo i dilemmi di ji18eos e non capisco bene come risolverli.

Non c'è alcuna "i" nel mio nickname ...

Il mio primo dilemma l'ho risolto da solo, e credo che ti vada bene come soluzione: sbaglio?

Gli altri due dilemmi: ti serve che \(\displaystyle x_0\) sia un punto di accumulazione per un qualche sottoinsieme \(\displaystyle Z\) di \(\displaystyle X\)? Se sì, il terzo dilemma si potrebbe risolvere utilizzando strumenti più fini, che per adesso non ho citato.

Grazie per la rispsota e scusa per l'errore. Allora ritornando al problema, da quello che ho capito, per risolvere il primo dilemma non è stato necessario usare il fatto che $x_0$ fosse di accumulazione, tuttavia non vedo come sia possibile definire la nozione di limite in assenza di questa ipotesi. Ora non immagino cosa intendi per strumenti più fini, ma da quello che ho capito (poi può essere che non abbia capito nulla) potrebbe essere che il fatto che $x->x_0$ può essere espresso in qualche altro modo oltre che quello che conosco.

Infatti, io non ho utilizzato la nozione di limite... senza cambiare le mie notazioni, se \(\displaystyle x_0\) fosse un punto di accumulazione per un sottoinsieme \(\displaystyle Z\) di \(\displaystyle X\), il mio ragionamento resterebbe comunque valido.

Ok, quindi il ragionamento rimane valido indipendentemente dal fatto che $x_0$ sia o meno di accumulazione per $Z$, perchè non è stata usata la nozione di limite, giusto?
E se così fosse quindi la risposta al secondo dilemma è che $x_0$ deve essere necessariamente di accumulazione solo se uso la nozione di limite, giusto?
Se ho detto qualche insensatezza, perdonami ma mi sto un po' perdendo (forse nel generalizzare devo fare un passo alla volta e non passare subito da $RR$ agli spazi topologici in generale).

Tutto corretto;

la domanda è: ti serve che \(\displaystyle x_0\) sia un punto di accumulazione?

Non so se è corretto, ma penso che la condizione che $x_0$ sia di accumulazione serve ad evitare che l'intorno contenga il solo punto $x_0$ e quindi penso che l'ipotesi sia necessaria in questo caso.

In effetti, se \(\displaystyle x_0\) fosse un punto isolato di \(\displaystyle X\) potrebbe accadere quel che dici te; ed al secondo degli scopi (od anche dei gusti) si potrebbe ottenere una generalizzazione corretta ma che non soddisfa le aspettative.

Quindi la risposta vera e propria è:dipende dalla generalizzazione che si vuole fare?