Per quali valori il vettore appartiene all'immagine

[DeltaEpsilon]

Assegnato l'endomorfismo \(\displaystyle f(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \rightarrow (y+z, -x+2y+z, x-y) \in \mathbb{R}^3 \) determinare i valori di \(\displaystyle h \) tali che il vettore \(\displaystyle (h^2,h,12) \) appartenga a \(\displaystyle Im(f) \)

Io ho svolto l'esercizio nel seguente modo:

Ho scelto il riferimento canonico e ho ricavato due immagini

\(\displaystyle f(1,0,0) = (0, -1, 1) \)
\(\displaystyle f(0,1,0) = (1, 2, -1) \)

E ho quindi scritto l'insieme immagine come \(\displaystyle Im(f) = L( (0,-1,1), (1, 2, -1), (h^2,h,12) ) \)
che ha dimensione 3 se il rango della matrice è 3
ma il rango della matrice è 3 se il suo determinante è diverso da 0

\(\displaystyle
\begin{vmatrix}
1 -1\: \: \: 1
\\
1\: \: \: \: \: 2 \: -1
\\
h^2 \: \: h \: \: 12
\end{vmatrix} \neq 0 \)

cioè se

\(\displaystyle h^2 - h - 12 \neq 0 \)

ovvero quando

\(\displaystyle h \neq -3 \wedge h \neq 4 \)

Il punto è che la soluzione dice che al posto del \(\displaystyle \neq \) dovrebbe esserci \(\displaystyle = \)


.


Qualcuno di voi può dirmi cosa sbaglio e se i miei ragionamenti sono corretti?

Grazie in anticipo!

[DeltaEpsilon]

Perché solo due? Completa l'opera con $f(0,0,1)=(1,1,0)$ in modo da poter concludere che:
a) $f(0,0,1)=f(1,0,0)+f(0,1,0)$, quindi l'immagine ha dimensione 2;
b) $\{(0,-1,1),(1,2,-1)\}$ è una base dell'immagine.

Grazie per la risposta.

Dunque se ho capito bene mi conviene sempre calcolare tutte e tre le immagini (in questo caso tre) per stabilire la dimensione di Im(f), giusto?

Perchè è proprio calcolandole tutte che mi accorgo che la dimensione è 2

Volevi ovviamente scrivere: \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ h^2 & h & 12\end{vmatrix}

Si, non ho ancora capito la sintassi... faccio pasticci

Se il determinante è nullo, allora $(h^2,h,12)$ è linearmente dipendente dai vettori della base che hai trovato, quindi appartiene all'immagine.

Quindi se ho capito bene io impongo determinante uguale a zero perchè il rango di quella matrice deve essere 2 (essendo 2 la dimensione dell'immagine), giusto?

[DeltaEpsilon]

Al punto 2) hai "solo" trovato che per $h=-3$ e $h=4$ un vettore $(h^2,h,12)$ è combinazione lineare di altri due vettori.
Per poter concludere che in questi casi $(h^2,h,12)$ appartiene all'immagine, devi aver trovato al punto 1 che l'immagine ha dimensione due e quei due altri vettori ne sono una base.

Perfetto... è chiarissimo... grazie mille!

[gugo82]

Oppure, meno geometricamente e più algebricamente… Il vettore $(h^2, h, 12)$ è in $text(Im)(f)$ se e solo se il sistema lineare:

$\{(y+z = h^2), (-x+2y+z = h), (x-y = 12):}$

è compatibile (non nel senso che suscita compassione, ma nel senso che ha qualche soluzione).
Dato che la matrice dei coefficienti:

$A:=((0,1,1),(-1,2,1),(1,-1,0))$

ha rango $2$ (infatti $det A = 0$ e $det A_(3,3) = 1 != 0$), il sistema ha soluzione se e solo se:

$det ((0,1,h^2),(-1,2,h),(1,-1,12)) = 0 <=> h^2 - h - 12 = 0 <=> (h-4)(h+3)=0 <=> h=4,-3$ .

[DeltaEpsilon]

Oppure, meno geometricamente e più algebricamente…

Mi piace

c'è poco da fare, trovo l'algebra sempre più intuitiva

Grazie per l'alternativa!

[gugo82]

Oppure, meno geometricamente e più algebricamente…

Mi piace

c'è poco da fare, trovo l'algebra sempre più intuitiva

Mmmm… Secondo me trovi più facile calcolare che ragionare, ma può darsi che mi sbagli.

Grazie per l'alternativa!

Prego.

[DeltaEpsilon]

Secondo me trovi più facile calcolare che ragionare, ma può darsi che mi sbagli.

Mamma mia se ti sbagli chi mi conosce di persona sa quanto odio calcolare

difatti quando mi esercito spesso e volentieri arrivo solo alla soluzione di un problema, rimanendo i calcoli in sospeso