Applicazione lineare diagonalizzabile

[giuggiole]

Sia \( f : R2\rightarrow R2 \)
un applicazione lineare diagonalizzabile che ammetta un solo autovalore di molteplicità geometrica 2
e tale che
\( f(2,0)+f(1,0) = f(2,0) \)
Calcolare i possibili valori per \( f(\pi ,\pi /4) \) .

Dalla relazione ricavo che : \( f(1,0) = (0,0) \ e
f(2,0)=(a,b) \)

Quindi avrò \( A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix} \) da cui \( |A -tIn| = -t(a-t) \).
Ricavo \( a = 0 \) , dove la molteplicità algebrica di 0 è 2 che è uguale alla molteplicità geometrica perchè f diagonalizzabile per ipotesi.
Avrò quindi \( A' = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix} \)
da cui \( f(\pi ,\pi /4) = (0, b\pi /4) \) .

E' giusto come ragionamento?

[giuggiole]

No la definizione di f è questa, quindi se considero A la matrice associata a f è la matrice nulla. Come procedo?

Grazie dell'aiuto