Piano contenente retta e parallelo a un'altra retta

[DeltaEpsilon]

Determinare l’equazione del piano contenente \(\displaystyle r \) di direzione \(\displaystyle v(-2, 1, 2) \) e parallelo alla retta \(\displaystyle s \) di equazioni \(\displaystyle x + y + 1 = 0 \) e \(\displaystyle y + z - 1 = 0 \)

Ho trovato che la retta \(\displaystyle s \) ha direzione \(\displaystyle v'(1,-1,1) \)

Dopodiché ho pensato che il piano fosse esattamente quello generato da \(\displaystyle r \) e \(\displaystyle s \)

$ lambda':{( ( x ),( y ),( z ) )=t( ( -2 ),( 1 ),( 2 ) )+s( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) )+( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $

Da notare che il punto \(\displaystyle P_0 \) che ho considerato appartenere al piano è l'origine.

Risolvendo il sistema ottengo \(\displaystyle \lambda' : 3x+4y+z = 0 \)

Mentre la soluzione è \(\displaystyle \lambda' : 3x+4y+z-9 = 0 \)

Allora ho pensato che magari avrei dovuto usare un punto diverso dall'origine, così ho scelto un punto che appartiene alla retta \(\displaystyle r \)

$ lambda':{( ( x ),( y ),( z ) )=t( ( -2 ),( 1 ),( 2 ) )+s( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) )+( ( 1 ),( 2 ),( -2 ) ) $

Ma esce fuori \(\displaystyle \lambda' : 3x+4y+z+6 = 0 \)

Cosa c'è che non va?

Purtroppo mi risulta abbastanza difficile usare l'immaginazione come ausilio per risolvere questi problemi...

Grazie in anticipo.

[Bokonon]

Il tuo risultato è corretto. Il piano passa per l'origine a meno che non ti diano un punto della retta r.
E comunque (1,2,-2) non appartiene alla retta r passante per l'origine.

Se il testo fosse stato per esempio:
Determinare l’equazione del piano contenente $r$, di direzione $v(−2,1,2)$ e passante per il punto (1,1,2), e parallelo alla retta $s$ etc etc
allora avresti ottenuto la soluzione del libro.

[DeltaEpsilon]

Il tuo risultato è corretto. Il piano passa per l'origine a meno che non ti diano un punto della retta r.
E comunque (1,2,-2) non appartiene alla retta r passante per l'origine.

Caspita, ho dimenticato di dire che la retta \(\displaystyle r \) contiene i punti \(\displaystyle A(1, 2, -2) \) e \(\displaystyle B(1, 3, 0) \)

Per questo motivo ho preso, nel mio secondo tentativo, il punto \(\displaystyle A \) come \(\displaystyle P_0 \)

[Bokonon]

Caspita, ho dimenticato di dire che la retta \(\displaystyle r \) contiene i punti \(\displaystyle A(1, 2, -2) \) e \(\displaystyle B(1, 3, 0) \)

In questo caso r avrebbe direzione (0,1,2).
E il piano sarebbe $3x+2y-z-9=0$

Sei stanco, hai lavorato molto per oggi.

[DeltaEpsilon]

In questo caso r avrebbe direzione (0,1,2).
E il piano sarebbe $3x+2y-z-9=0$

Sei stanco, hai lavorato molto per oggi.

No!!! Ho sbagliato di nuovo, \(\displaystyle B \) è \(\displaystyle B(-1, 3, 0) \)

Cavoli se sono stanco...

Quindi \(\displaystyle B - A = (-2, 1, 2) \)

[Bokonon]

Quindi abbiamo il piano $3x+4y+z=d$ e sostituiamo il punto $A=(1,2,-2)$ ottenendo $d=3*1+4*2-2=9$
Avevi sbagliato i conti.

Anche sostituendo il punto $B=(-1,3,0)$ si ottiene (come dev'essere) $d=3*(-1)+4*3+0=9$

[DeltaEpsilon]

Avevi sbagliato i conti.

Ecco si... ho ricontrollato e ho dimenticato un maledetto +1 nel sistema lineare...

Grazie mille per la pazienza