intersezioni e tangenti tra una retta e una curva

[AAAAAA1]

Sapete aiutarmi con questo esercizio? non riesco a capire come devo fare.

Testo dell'esercizio:
Studiare i punti della curva algebrica piana
$ y^6 -2y^3 -x^2+3y^2=0 $
comuni con l’asse x, determinando le rispettive tangenti.

- Per prima cosa metto a sistema la curva con l'asse (y=0).
- Otterrò che si intersecano in P(0,0) con molteplicità 2. in coordinate omogenee sarà P(0,0,1).
- Poi viene ricavato un'altro punto, che non ho capito come viene trovato, ma con molteplicità 4
- poi non ho capito come devo fare a trovare le tangenti

[Stickelberger]

In coordinate omogene l’equazione della curva nel piano proiettivo
e’ data da $y^6-2y^3z^3-x^2z^4+3y^2z^4=0$.
Il luogo di intersezione con $y=0$ e’ dato da $x^2z^4=0$.
Ci sono quindi due punti di intersezione: $(x:y:z)=(0:0:1)$ e $(1:0:0)$.
Le molteplicita’ sono gli esponenti del monomio $x^2z^4$.

Per il resto devo un po’ indovinare cosa vuole l’autore dell’esercizio.
Potrei dire che i due punti sono entrambi singolari e non ci sono rette tangenti.
Ma probabilmente la risposta cercata e’ la seguente:

Per il primo punto consideriamo la carta affine $z=1$. Cosi’
l’equazione diventa $y^6-2y^3-x^2+3y^2=0$ e il punto diventa $(0,0)$.
I monomi di grado piu’ basso determinano la geometria locale. In questo caso
vuol dire che vicina a $(0,0)$ la curva e’ approssimata da $x^2-3y^2=0$.
Si tratta di due rette incidenti: $x=\pm\sqrt{3}y$. Saranno le rette tangenti cercate

Similmente, per il secondo punto consideriamo la carta affine $x=1$. Cosi’
l’equazione diventa $y^6-2y^3z^3-z^4+3y^2z^4=0$ e il punto diventa $(0,0)$.
Il monomio di grado piu’ basso e’ $z^4$. La retta cercata sara’ $z=0$