solaàl ha scritto:Per come il polinomio caratteristico di un endomorfismo è definito, i suoi zeri \(\lambda\) sono quei numeri complessi tali che \(\lambda \mathbb{I}-A\) ha determinante zero
Sergio ha scritto:Lorenzo_99 ha scritto:solaàl ha scritto:Per come il polinomio caratteristico di un endomorfismo è definito, i suoi zeri \(\lambda\) sono quei numeri complessi tali che \(\lambda \mathbb{I}-A\) ha determinante zero
È proprio questo che non capisco. Cioè, cosa permette di dire che $(A-\lambdaI)v=0$ se $det(A-\lambdaI)=0$?
Non è proprio così, manca un dettaglio (che ritrovi nella definizione di autovalore).
$(A-\lambdaI)v=0$ non è altro che un sistema lineare omogeneo, che ammette sempre la soluzione banale $v=0$ quale che sia $det(A-\lambdaI)$.
Come tutti i sistemi omogeni, ammette soluzioni non banali, cioè con $v ne 0$, solo se $det(A-\lambdaI)=0$, cioè se è nullo il determinante della matrice dei coefficienti.
Gli autovalori -- cioè quegli scalari tali che $Av=\lambda v$ per $v ne 0$ -- solo i valori per i quali quel determinante si annulla. Quando si annulla, è possibile usare ciascun $\lambda$ per trovare gli spazi delle soluzioni del corrispondente sistema omogeneo, gli elementi della cui base sono detti autovettori associati a quel $\lambda$.
Sergio ha scritto:Come tutti i sistemi omogeni, ammette soluzioni non banali, cioè con $v ne 0$, solo se $det(A-\lambdaI)=0$, cioè se è nullo il determinante della matrice dei coefficienti.
Sergio ha scritto:Comunque, dato il sistema $Ax=0$, esistono vettori non nulli tali che $Ax=0$ solo se il nucleo di $A$ ha dimensione maggiore di 0 (altrimenti $Ax=0$ solo se $x=0$), cioè se la matrice non ha rango pieno, cioè se il suo determinante è nullo.
Sergio ha scritto:E come fai a decidere se una matrice ha rango pieno oppure no? Sì, ci sono vari modi, ma calcolare il determinante è uno di questi.
Mi sa che devi rivedere un po' di cose...
Lorenzo_99 ha scritto: Qual è poi il collegamento tra il rango non pieno … con il determinante?
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