Forme quadratiche congruenti

[Aletzunny]

Buonasera, ho un dubbio che cercando su internet non riesco a risolvere.
Date due forme quadratiche su $RR^n$ per determinare che esse sono congruenti mi basta trovare che le Matrici ad esse associate hanno la stessa segnatura?

Inoltre per determinare che due forme quadratiche provengono da un prodotto Euclideo su $RR^n$ mi basta trovare che la segnatura è esattamente $(n_+,0_0,0_-)$?

Grazie

[dissonance]

Immagino che per "prodotto euclideo" si intenda semplicemente una forma quadratica definita positiva.

[Aletzunny]

Si esattamente! Quindi per quel caso vale la condizione?

[Bokonon]

Date due forme quadratiche su $RR^n$ per determinare che esse sono congruenti mi basta trovare che le Matrici ad esse associate hanno la stessa segnatura?

Due matrici A e B sono congruenti se e solo se esiste una matrice P invertibile tale che $B=P^TAP$ (*) Quindi in generale ciò che hai scritto non è vero.

Ma poichè, quando si parla di un prodotto scalare in generale, si parla di forme bilineari simmetriche, allora B (nel contesto) è da ritenersi simmetrica, quindi sempre diagonalizzabile anche in campo reale.
Una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile ed è sempre possibile trovare una base ortonormale di autovettori tale che $B=QDQ^(-1)=QDQ^T$
Qundi sostituendo in (*) abbiamo:
$QDQ^T=P^TAP rArr D=Q^TP^TAPQ=(PQ)^TA(PQ)$
ergo anche A è congruente alla medesima matrice diagonale e quindi ha la medesima segnatura.

Inoltre per determinare che due forme quadratiche provengono da un prodotto Euclideo su $RR^n$ mi basta trovare che la segnatura è esattamente $(n_+,0_0,0_-)$?

Quella segnatura afferma che il prodotto scalare è definito positivo (requisito fondamentale per un prodotto scalare). Il prodotto scalare euclideo classico è associato alla matrice identità quindi ha la stessa segnatura e appartiene alla medesima classe dei prodotti scalari definiti positivi: in altro modo, sono tutte forme bilineari simmetriche associate a matrici congruenti.
Sul concetto di "provenienza", non l'ho mai sentito
Nella sostanza però, sono tutti prodotti scalari "analoghi" a quello euclideo ma in cui gli assi hanno scale diverse.

[Bokonon]

Mi basterebbe anche un controesempio, ma non sono riuscito a trovarne.

Per esempio $ A=( ( 0 , -1 ),( 1 , 0 ) ) $ e $ P=( ( 1 , 3 ),( -1 , 2 ) ) $
$B=5A$ sono congruenti ma nessuna delle due matrici è diagonalizzabile in campo reale (e la segnatura vale solo in campo reale).

[Bokonon]

E perché dici che la segnatura vale solo in campo reale?

Perchè il campo complesso non è ordinato (quindi la definizione di segnatura non ha senso) e il teorema di Sylvester definisce la congruenza in campo complesso come un invariante in base al rango della matrice e al numero di vettori isotropi.

Inoltre l'OP ha chiaramente specificato che il campo è reale.

[Bokonon]

D'accordo, ma si può parlare di segnatura per matrici di numeri complessi, purché siano hermitiane (con autovalori reali). È questo che mi fa pensare che, nel campo reale, non abbia molto senso parlare di segnatura per matrici non simmetriche.

Il concetto è diverso. La definizione di congruenza è quella. Poi esiste la definizione di similarità.
Nel caso speciale delle matrici simmetriche (e non importa se sono in campo reale o complesso perchè gli autovalori sono sempre reali) allora si può sfruttare il concetto di congruenza (e di segnatura) per classificare le matrici in modo più "fine" a definita positiva/negativa, semidefinita, non definita.

Per esempio, tutti le matrici simmetriche definite positive sono congruenti e quindi vengono associate alla classe di prodotti scalari di tipo euclideo (stando a ciò che è stato scritto in questo thread, perchè per me sono semplicemente prodotti scalari con assi con scale diverse tout court).

[Bokonon]

La definizione di congruenza è quella, ma mentre si può parlare di congruenza per matrici quadrate qualsiasi (ad esempio, qualsiasi matrice quadrata è congruente alla sua trasposta), la doppia implicazione congruenza <=> segnatura invariante ha senso solo per matrici simmetriche.

Esatto...
...ma non escluderei a priori che a livello puramente astratto i matematici non provino un interesse morboso a catalogare anche classi di matrici congruenti ma non simmetriche che abbiano la medesima segnatura. Immagino che indipendentemente dal fatto che siano diagonalizzabili o meno, se si inserisce il discorso in un quadro più generale come la forma canonica di Jordan, allora magari ha un senso per quei pervertiti

[Bokonon]

...e ti pareva, matematici LOL! Grazie per il link.
Piuttosto, una domanda (che mi hai "costretto" a pormi mentre ti rispondevo) a cui non saprei rispondere è se, in campo reale, esistano matrici congruenti e con autovalori tutti reali (e non importa se poi siano diagonalizzabili o meno) ma aventi diversa segnatura.
A pelle direi di no...hai qualcosa al proposito?