ho alcune (parecchie) difficoltà sulla dimostrazione di questo lemma:
Siano $ f : V → V $ un endomorfismo e $ h(t), k(t) ∈ K[t] $ polinomi senza fattori comuni. Allora
$ Ker(h(f)) ∩ Ker(k(f)) = 0 $
In particolare, se $ h(t) $ non ha fattori in comune con il polinomio minimo $ qf (t)$ , allora l’endomorfismo $ h(f) $ è invertibile.
Il lemma sul libro è dimostrato così:
Il sottospazio $ H = Ker(h(f)) ∩ Ker(k(f)) $ è f-invariante e dunque il polinomio minimo di $ f|H : H → H $ divide $ h(t)$ e $ k(t)$ . Se $ H != 0$ , allora il polinomio minimo di $ f|H$ ha grado positivo. Se $ h(t)$ e $ qf (t) $ non hanno fattori comuni si ha $ Ker(h(f)) = Ker(h(f)) ∩ Ker(qf (f)) = 0 $ .
Della dimostrazione, non capisco perché, se $ H = Ker(h(f)) ∩ Ker(k(f)) $ è f-invariante, il polinomio minimo della restrizione divida h(t) e k(t) ed inoltre non capisco l'uguaglianza $Ker(h(f)) = Ker(h(f)) ∩ Ker(qf (f)) $ né il motivo per cui h(f) e qf(f) non dovrebbero avere fattori comuni.
Spero di trovare qualcuno tanto gentile da spiegarmelo, o che per lo meno mi fornisca una dimostrazione alternativa del lemma.
